2.2.1 函数的单调性ppt配套的板书设计及意图

函数的单调性与最值

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

定义

当x1

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

条件

结论

[小题体验] 1．y＝x2－6x＋5的单调减区间为________．

解析：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，表示开口向上，对称轴为x＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]．

答案：(－∞，3] 132．若函数f(x)＝x在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________. 411解析：由f(x)＝x的图象知，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，因为[2，a]⊆(0，＋∞)，

1所以f(x)＝x在[2，a]上也是减函数，

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

②存在x∈I，使得f(x)＝M M为函数y＝f(x)的最大值

①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

②存在x∈I，使得f(x)＝M

M为函数y＝f(x)的最小值

自左向右看图象是下降的

11所以f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，

a2113所以＋＝，所以a＝4. 2a4答案：4 3．函数f(x)是在区间(－2,3)上的增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是________．

解析：由－2＜x＋5＜3，得－7＜x＜－2，故y＝f(x＋5)的递增区间为(－7，－2)．

答案：(－7，－2)

1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)1在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝. x13．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等fx的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．

[小题纠偏] 1．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

答案：[－1,1]，[5,7] 2．已知函数f(x)＝log5(x2－3x－4)，则该函数的单调递增区间为________．

解析：由题意知x2－3x－4>0，则x>4或x<－1，

3令y＝x2－3x－4，则其图象的对称轴为x＝，

2所以y＝x2－3x－4的单调递增区间为(4，＋∞)．

单调递减区间为(－∞，－1)，由复合函数的单调性知f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．

答案：(4，＋∞)

考点一

函数单调性的判断

基础送分型考点——自主练透

[题组练透] 1．讨论函数f(x)＝x在x∈(－1,1)上的单调性．

x－12解：设－1＜x1＜x2＜1，

则f(x1)－f(x2)＝x2－x1x1x2＋1x1x2－2＝2. 22x1－1x2－1x1－1x2－1因为－1＜x1＜x2＜1，

2所以x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x1－1)(x22－1)＞0，

所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．

2．试讨论函数f(x)＝解：法一(定义法)：

ax(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

x－1x－1＋1＝a1＋1，

设－1

12＝ax2－x1，

x1－1x2－1由于－10，x1－1<0，x2－1<0，

故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上递减；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

函数f(x)在(－1,1)上递增．

法二(导数法)：

ax′x－1－axx－1′ax－1－axaf′(x)＝＝＝－. 22x－1x－1x－12当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上递减；

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上递增．

[谨记通法] 1．定义法判断函数单调性的步骤

取值作差商变形确定符号与1的大小得出

结论2．导数法判断函数单调性的步骤

求导函数确定符号得出结论

考点二

求函数的单调区间

重点保分型考点——师生共研

[典例引领] 求下列函数的单调区间：

(1)y＝－x2＋2|x|＋1；

(2)y＝log1

(x2－3x＋2)．

2

2－x＋2x＋1，x≥0，解：(1)由于y＝2

－x－2x＋1，x＜0，2－x－1＋2，x≥0，即y＝

2－x＋1＋2，x＜0.

画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log1u与u＝x2－3x＋2的复合函数．

2令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2. 所以函数y＝log1

(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．

23又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．

2所以u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．

而y＝log1u在(0，＋∞)上是单调减函数，

2所以y＝log1

(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．

2[由题悟法] 确定函数的单调区间的3种方法

[提醒]

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

[即时应用] 1．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．

解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．

答案：[3，＋∞) 12x23x+12．函数y＝的单调递增区间为________．

3

31x－2－. 解析：令u＝2x2－3x＋1＝2483311x－2－在－∞，上单调递减，函数y＝u在R上单调递减．

因为u＝2448312x23x+13－∞，上单调递增．

所以y＝在433－∞，

答案：4考点三

函数单调性的应用

题点多变型考点——多角探明

[锁定考向] 高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．

常见的命题角度有：

(1)求函数的值域或最值；

(2)比较数值的大小；

(3)利用单调性解函数不等式；

(4)利用单调性求参数的取值范围或值．

[题点全练] 角度一：求函数的值域或最值

11．如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数2f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．

11，＋∞上单调解析：根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．又函数f(x)在221－∞，上单调递减，则函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f(－2)＋f(0)＝f(1递增，故f(x)在2＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4. 答案：4

角度二：比较数值的大小

12．设函数f(x)定义在实数集R上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f3，32f2，f3的大小关系为________________________(用“<”号表示)．

解析：由题设知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x<1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递31111121321121＋＝f1－＝f，又<<<1，所以f＞f>f，即f>f>f. 增，所以f＝f2222323323323231答案：f3

角度三：利用单调性解函数不等式

1

3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足fx

1|x|<1，11，即解析：由f(x)为R上的减函数且f所以－1

答案：(－1,0)∪(0,1) 114．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，求不等式f(logx)>0的解集．

92解：∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．

∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，

1－1＝－f1＝0. 又f＝0，知f2221故原不等式f(logx)>0可化为

91或f－1

f(log1x)>f9922111∴log9x>或－

9221解得0

角度四：利用单调性求参数的取值范围或值

xa，x<0，5．(2018·南通调研)已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)满足对任意x1≠x2，都有a－3x＋4a，x≥0

fx1－fx2<0成立，则实数a的取值范围是________．

x1－x20

答案：4[通法在握] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)求函数最值(五种常用方法) 方法

单调性法

图象法

基本不等式法

步骤

先确定函数的单调性，再由单调性求最值

先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值

先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值

1解得0

导数法

换元法

先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值

对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值

(2)比较函数值大小的解题思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解．

(3)解不等式

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(4)利用单调性求参数的范围(或值)的方法

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

[提醒]

①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

[演练冲关] 1．已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a的值是________．

解析：f(x)＝x|2x－a|＝a－x2x－a，x≤2ax2x－a，x>，2

(a>0)，

≤2，4aa，，所以作出函数图象(图略)，可得该函数的递减区间是42a2≥4，答案：8 a

解得a＝8. 3x，x≤0，2．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．

lnx＋1，x>0，

解析：因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，所以函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－20)在221a解析：因为f(x)＝－x＋b(a>0)在2，2上是增函数，

11所以f2＝2，f(2)＝2.

即a－2＋b＝2，5

21－2a＋b＝，2

5解得a＝1，b＝. 2答案：1

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2018·常州调研)函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是________．

131x＋2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，所以所求单调递减解析：y＝x2＋x＋1＝2421－∞，－. 区间为21－∞，－

答案：22．一次函数y＝kx＋b在R上是增函数，则k的取值范围为________．

解析：设∀x1，x2∈R且x1

因为f(x)＝kx＋b在R上是增函数，

所以(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，即k(x1－x2)2>0，

因为(x1－x2)2>0，所以k>0. 答案：(0，＋∞) 1x3．(2018·徐州质检)函数f(x)＝3－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．

1x1x－log2(x＋2)是在区间[－解析：因为y＝和y＝－log(x＋2)都是[－1,1]上的减函数，所以y＝2331,1]上的减函数，所以最大值为f(－1)＝3. 答案：3 4．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．

11111t－2＋，结合图象知，当t＝，即x＝时，ymax＝. 解析：令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＝－242441答案：

45．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)

解析：因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，且f(2x－1)5，即x<－2或x>3. 答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞) 6．若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．

解析：因为f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，所以a≤1.

又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数．所以a＋1>1，所以a>0. 综上可知0

－x2＋4x，x≤4，1．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范log2x，x＞4.

围是________．

解析：作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.

答案：(－∞，1]∪[4，＋∞) ax＋12．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

x＋2aax＋2a2－2a2＋12a2－1解析：f(x)＝＝a－，

x＋2ax＋2a因为函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数．

22a－1＞0，所以解得a≥1. －2a≤－2，

答案：[1，＋∞) 3．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a

解析：由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，

当1

所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6. 答案：6 a，a≤b，4．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)b，a＞b.

＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

log2x，0＜x≤2，解析：依题意，h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x＞2时，h(x)＝－x＋3，x＞2.

－x＋3是减函数，所以h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1. 答案：1

5．(2018·金陵中学月考)定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．

解析：函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤a－a≤2，－2≤2a－2≤2，2a－2

－1≤a≤2，所以0≤a≤2，a<1或a>2，答案：[0,1)

所以0≤a<1. 6．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系为____________(用“<”表示)．

解析：因为f(x)是偶函数，

所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．

又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

所以f(π)＞f(3)＞f(2)，所以f(－2)

答案：f(－2)

a7．(2018·苏州高三暑假测试)已知函数f(x)＝x＋(a>0)，当x∈[1,3]时，函数f(x)的值域为A，若A⊆[8,16]，x则a的值等于________．

2a≤16x－x，解析：因为A⊆[8,16]，所以8≤f(x)≤16对任意的x∈[1,3]恒成立，所以对任意的x2a≥8x－x

∈[1,3]恒成立，当x∈[1,3]时，函数y＝16x－x2在[1,3]上单调递增，所以16x－x2∈[15,39]，函数y＝8x－a≤15，x在[1,3]上也单调递增，所以8x－x∈[7,15]，所以即a的值等于15. a≥15，22

答案：15 8．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________. 1解析：函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m>0，即m<.若a>1，则函数f(x)在[－1,2]上的最小4111值为a＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当0

4x9．已知f(x)＝(x≠a)．

x－a

(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

解：(1)证明：任设x1

则f(x1)－f(x2)＝2x1－x2x1x2－＝. x1＋2x2＋2x1＋2x2＋2因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

所以f(x1)

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

(2)任设1

f(x1)－f(x2)＝ax2－x1x1x2－＝. x1－ax2－ax1－ax2－a因为a>0，x2－x1>0，

所以要使f(x1)－f(x2)>0，

只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．

110．已知函数f(x)＝a－. |x|(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

1解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，

x设00，x2－x1>0，

1111x2－x1a－－a－＝－＝f(x2)－f(x1)＝x2x1x1x2x1x2>0，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

1(2)由题意a－x<2x在(1，＋∞)上恒成立，

1设h(x)＝2x＋x，

则a

任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1

12－h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)x1x2. 因为11，所以2－所以h(x1)

所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增．

故a≤h(1)，即a≤3，

所以实数a的取值范围是(－∞，3]．

1>0，

x1x2

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是____________．

解析：因为f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，所以由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，x＞0，＋∞)上的增函数，所以有x－8＞0，xx－8≤9，答案：(8,9] x12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. 2

解得8＜x≤9. (1)证明：f(x)为单调递减函数．

(2)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

解：(1)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，

x1则>1，由于当x>1时，f(x)<0，

x2x1所以fx<0，即f(x1)－f(x2)<0，

2因此f(x1)

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，

所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

x1由fx＝f(x1)－f(x2)得，

29f3＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，

所以f(9)＝－2. 所以f(x)在[2,9]上的最小值为－2.