1.1 集合的含义及其表示ppt课件教学实录

第1讲

集合及其运算

考试要求

1.集合的含义、元素与集合的属于关系，A级要求；2.集合之间包含与相等的含义，集合的子集，B级要求；3.并集、交集、补集的含义，用韦恩(Venn)图表述集合关系，B级要求；4.求两个简单集合的并集与交集及求给定子集的补集，B级要求．

知

识

梳

理

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系

表示

关系

集合间的

基本关系

真子集

空集

3.集合的基本运算

图形语言

符号语言

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

4.集合的运算性质

并集的性质：

A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. 交集的性质：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 集合的并集

集合的交集

集合的补集

相等

子集

文字语言

集合A与集合B中的所有元素都相同

A中任意一个元素均为B中的元素

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

符号语言

A＝B

A⊆B

AB

A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 补集的性质：

A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A. 诊

断

自

测

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，则A＝B＝C.(×) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) 1(3)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1或m＝2.(×) (4)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(√) 2．(2014·新课标全国Ⅰ卷改编)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，则M∩N＝________. 解析

借助数轴求解．

由图知：M∩N＝(－1,1)．

答案

(－1,1) 3．(2014·辽宁卷改编)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________. 解析

借助数轴求得：A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，

∴∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．

答案

{x|0＜x＜1} 4．(苏教版必修1P14T11改编)已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则(∁RA)∩B＝________. 解析

∵∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}，

∴(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．

答案

{x|2＜x＜3，或7≤x＜10} 5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．

解析

集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据

此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2. 答案

2

考点一

集合的含义

【例1】

(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．

(2)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________. 解析

(1)∵x－y＝{－2，－1,0,1,2}，∴其元素个数为5. (2)由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；

当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，

解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．

答案

(1)5

(2)4 规律方法

(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

【训练1】

已知＝________. b解析

由已知得a＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 016＋b2 016＝1. 答案

1 考点二

集合间的基本关系

【例2】

(1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则ba∈R，b∈R，若a，a，1＝{a2，a＋b,0}，则a2 016＋b2 016m＝__________. 解析

(1)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

深度思考

①你会用这些结论吗？

A∪B＝A⇔B⊆A，

A∩B＝A⇔A⊆B，

(∁UA)∩B＝∅⇔

B⊆A；②你考虑到空集了吗？

m＋1≥－2，则2m－1≤7，m＋1<2m－1，解得2

综上，m的取值范围是(－∞，4]．

(2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，

∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，

∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2. 经检验知m＝1和m＝2符合条件．

∴m＝1或2. 答案

(1)(－∞，4]

(2)1或2 规律方法

(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．

【训练2】

(1)(2014·常州模拟)设集合A＝{1，a}，B＝{a}，若B⊆A，则实数a的值为________．

(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．

a≠1，解析

(1)由子集概念及元素的互异性可得

a＝a，解得a＝0. (2)由log2x≤2，得0＜x≤4，

即A＝{x|0＜x≤4}，

而B＝{x|x＜a}，

由于A⊆B，如图所示，则a＞4. 答案

(1)0

(2)(4，＋∞)

考点三

集合的基本运算

【例3】

(1)(2014·新课标全国Ⅱ卷改编)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝________. (2)(2014·江西卷改编)设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝________. 解析

(1)B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，

∴A∩B＝{2}．

(2)∵A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，

B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}，

∴A∩(∁RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．

答案

(1){2}

(2)(－3，－1] 规律方法

(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.

【训练3】

(1)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝________. (2)(2014·四川卷改编)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________.

解析

(1)∁UA＝{0,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．

(2)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B为整数集，

∴A∩B＝{－1,0,1,2}．

答案

(1){0,2,4}

(2){－1,0,1,2}

微型专题

集合背景下的新定义问题

以集合为背景的新定义问题，集合只是一种表述形式，实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力．解决此类问题，要从以下两点入手：

(1)正确理解创新定义．分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．

(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．

【例4】

(2014·青岛质检)设集合M＝1xn－≤x≤n33xm≤x≤m＋4

，N＝

，且M，N都是集合{0|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值为________．

点拨

先理解集合的“长度”，然后求M∩N的“长度”的最小值．

m≥0，解析

由已知，可得3m＋4≤1，1n－≥0，3n≤1，

1即0≤m≤4；

31即3≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝0，4，32232，10，N＝3.所以M∩N＝∩，1＝，. 4334321此时集合M∩N的“长度”的最小值为4－3＝12.

1答案

12

点评

本题的难点是理解集合的“长度”，解题时紧扣新定义与基础知识之间的相互联系，把此类问题转化成熟悉的问题进行求解.

[思想方法]

1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．

2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决，枚举法不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏．

3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图，这是数形结合思想的又一体现．

[易错防范]

1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．

2．空集不含任何元素，但它是存在的，在利用A⊆B解题时，若不明确集合A是否为空集时应对集合A的情况进行分类讨论．如例2(1)错解1：由m＋1＜2m－1，m＋1≥－2，解得－3≤m≤4；错解2：由m＋1≥－2，2m－1≤7，2m－1≤7，

解得2＜m≤4，错因都是对集合B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}认识不清．

3．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.