完全平方公式的应用课堂实录及点评

北师大版数学七年级下册 1.6.2完全平方公式的应用

教学设计

彭州市龙门山镇九年制学校 廖加伟

课题 1.6.2完全平方公式的应用

单元

第一单元

学科

数学

年级

七年级

1．知识与技能：熟记完全平方公式，并能说出公式的结构特征，能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算，会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算。 学习

2．过程与方法：能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，并在活动当中培养学生数学目标

建模的意识及应用数学解决实际问题的能力。

3.情感与态度：在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感爱数学的内在美。

重点

能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算。

难点

能够运用完全平方公式解决简单的实际问题。

教学过程

教学环节

导入新课

教师活动

师：叙述一下完全平方公式。

师：完全平方公式数学表达式：

(a+b) 2=a2+2ab+b2

(a -b) 2=a2－2ab+b2

师：想一想上节课学的103×97怎样用简便方法计算？

教师出示正确答案。

103×97 =(100+3) (100－3) =1002－32 =9 991 ；

学生活动

生：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，设计意图

本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应加上（或减去）用

，因而复习是它们的积的2倍。

生：可以利用平方差公式进很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础，同时经过本行简便运算。

环节

中的第三个问题的思考，也使学生明确了本节课学习的初步目标，起到了承上启

下的作用.

讲授新课

师：思考一下怎样计算1022，

1972更简单呢？

能不能用完全平方公式进行简便计算？

把

1022

改写成

(a+b)2

还是(a−b)2

的形式?

教师出示正确答案。

解】1022

=(100+2)2

=1002+2×100×2+22

=10000+400+4

=10404 生思考。

生：改写成(a+b)2的形式

能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会

完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固．

此环节的设计符合学生的认知水平和认知过程．虽然问题本身难度不大，学生容易解决，但是通过在解题之师：把

1972

改写成

(a+b)2 还是(a−b)2

的形式?

生：改写成教师出示正确答案。

1972

=(200-3)2

=2002-2×200×3+32

=40000-1200+9

=38809 【归纳提升】

【例】计算

(1)2012

(2) 992

教师出示正确答案

【解】2012

992

=(200+1)2

=(100-1)2

=2002+2×200×1+1

=1002-2×100×1+12

=40000+400+1

=10000-200+1 =40401 【例】

计算：

=9801 (a-b)2的形式

学生计算得出答案。

40401

9801 前的观察与忠

考，使学生养成认真审题的好习惯，同时对于知识的掌握更有深度，也为后面乘法公式的综合应(1)

(x+3)2－x2

；

(2) (a+b+3)(a+b－3)；

(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) . (1) (x+3)2－x2

= x2+6x+9－x2

=6x+9 (2) (a+b+3)(a+b－3)

学生根据所学知识做例题。

用奠定了良好的

= [(a+b) +3] [(a+b)－3] = (a+b)2－32

=a2+2ab+b2－9；

(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) = x2+10x+25－(x2－5x+6)

= x2+10x+25－x2+5x－6 = 15x+19 . 师：让我们归纳一下。

对于平方式中若底数是三项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平方差公式展

学生在教师的引导下总结归活动基础．

数学源自于生活，通过生活当中的一个有趣的分糖场景，使学生

进一步巩固了2开再利用完全平方公式展开，最后合并可得结果．

纳。

师：让我们做一个应用题。

一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客

时，老人都要拿出糖果招待他们。如果来一个孩子，

老人就给这个孩子1块糖果，如果来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果，如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……

假如第一天有a个孩子一起去看老人，第二天有b个孩子一起去看老人，第三天有（a+b）个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？

请你用所学的公式解释自己的结论。

学生读题，思考教师提出的问题。

(a+b)=a 22+2ab+b ，同时(1) 第一天有a个孩子一起去看老人，老人一共给

了这些孩子多少块糖？

帮助学生进一步理解了(a+b)

与

a +b

的关

系.同时通过问题串的形式，层层递进，适合学生的222(2) 第二天有b个孩子一起去看老人，老人一共给

了这些孩子多少块糖？

(3)第三天有（a+b）个孩子一起去看老人，，老人一共给了这些孩子多少块糖？

生：a2

(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？

师：完全平方公式常见的变形公式有：

(1) (a+b)2-(a2+b2)=2ab (2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab (3) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab

b2

思维梯度，学生通过自主探

究和交流学到了新的知识，巩固了旧的知识，学生的学习积极性和为主动性得到大

大的激发. (a+b)2

第三天多，多2ab 因(a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab

课堂练习

1.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是(

C

). 学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。

提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时

A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2

C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

2.若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab等于(

B

).

A．2

B．1

C．－2

D．－1 3.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2. 实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。

【解】a2+b2

=（a+b)2－2ab

=52-2×(－6)

=37；

a2－ab+b2

=a2+b2－ab =37－(－6) =43. 4.

运用乘法公式计算:(x+2y-3)(x-2y+3) ;

【解】(x+2y-3)(x-2y+3)

=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]

= x2-(2y-3)2

= x2-(4y2-12y+9)

= x2-4y2+12y-9. 5.下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．

(a＋b)1＝a＋b，

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，

则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6. 解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，

由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；

(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；

因此(a＋b)6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.故填20. 课堂小结

这节课你学到了什么？

运用完全平方公式进行简便运算时，关键是找到与原数接近的整数，再将原数与整数进行比较，变形成(a+b)2 还是(a−b)2

的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．

常用变形

(1) (a+b)2-(a2+b2)=2ab (2) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab (3) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab

板书

1．完全平方公式：

两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；

(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 2．完全平方公式的应用

学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。

在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。