单项式乘以单项式教案和学案内容

第一章 整式的乘除

1.1

同底数幂的乘法

主备：于明波

审核：七年数学组

时间：2019.2.26

一、学习目标

1．经历探索同底数幂乘法运算性质过程，进一步体会幂的意义．

2．了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题

二、学习重点：同底数幂的乘法运算法则的推导过程以及相关计算

三、学习难点：对同底数幂的乘法公式的理解和正确应用

四、学习设计

（一）预习准备

预习书p2-4 （二）学习过程

1. 试试看：(1)下面请同学们根据乘方的意义做下面一组题：

3473522(222)(2222)2①

②55=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿=5()

③a3．a4=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿=a( )

(2)根据上面的规律，请以幂的形式直接写出下列各题的结果：

11102104= 104105= 10m10n= ()m×()n= 10102. 猜一猜：当ｍ，ｎ为正整数时候，

aaaa)(aaaa)aaa＝aam．an=(．＝a

(____)

__________个a_____________个a___________个a即am·an= (m、n都是正整数) 3. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘

运算形式：（同底、乘法）

运算方法：（底不变、指加法）

当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，

用公式表示为 am·an·ap = am+n+p

（m、n、p都是正整数）

练习1.

下面的计算是否正确? 如果错，请在旁边订正

（1）．a3·a4=a12

（2）．m·m4=m4 (

3）．a2·b3=ab5 （4）．x5+x5=2x10

（5）．3c4·2c2=5c6

（6）．x2·xn=x2n

(7）．2m·2n=2m·n （8）．b4·b4·b4=3b4

2．填空：（1）x5 ·（ ）= x 8 （2）a ·（ ）= a6

（3）x · x3（ ）= x7 （4）xm ·（

）＝x3m

（5）x5·x(

)=x3·x7=x(

)

·x6=x·x(

)

（6）an+1·a( )=a2n+1=a·a( )

例1．计算

（1）(x+y)3

· (x+y)4

（2）x2(x)6

1

（3）(ab)3(ba)5

（4）a3ma2m1（m是正整数）

变式训练．计算

（1）7873

（2）6763 （3）555354.

（4）ba2ab

（5）（a-b）(b-a)4

（6）

xnxn1x2nx

（ｎ是正整数）

拓展．1、填空

（1） 8 = 2x，则 x = （2） 8 × 4 = 2x，则 x = （3） 3×27×9 = 3x，则 x = . 2、

已知a=2，a=3,求amn的值

3、

b2bm2bbm1b3bm5b2

4、已知35x181,求(4x5)3的值。 5、已知am3,an4,求amn的值。

回顾小结

2

mn

1.2 幂的乘方与积的乘方（1）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.26

一、学习目标：1．能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则．

2．能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算．

二、学习重点：会进行幂的乘方的运算。

三、学习难点：幂的乘方法则的总结及运用。

四、学习设计：

（一）预习准备

（1）预习书5～6页

（2）回顾：

计算（1）（x+y）2·（x+y）3 （2）x2·x2·x+x4·x

1（3）（0.75a）3·（a）4 （4）x3·xn-1－xn-2·x4

4（二）学习过程：

一、

1、探索练习：

(62)4表示_________个___________相乘. a3表示_________个___________相乘. (a2)3表示_________个___________相乘. 在这个练习中，要引学习生观察，推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。

（62）4=________×_________×_______×________ =__________(根据an·am=anm) =__________ （33）5=_____×_______×_______×________×_______ =__________(根据an·am=anm) =__________ 64表示_________个___________相乘.

（a2）3=_______×_________×_______ =__________(根据an·am=anm) =__________ （am）2=________×_________ =__________(根据an·am=anm) =__________ （am）n=________×________×…×_______×_______ =__________(根据an·am=anm) 3

=________ 即

（am）n =______________(其中m、n都是正整数) 通过上面的探索活动,发现了什么? 幂的乘方,底数__________,指数_________ 2、例题精讲

类型一 幂的乘方的计算

例1 计算

⑴ (5) ⑵－（a） ⑶(a) ⑷［(a＋b)］ 43236324

随堂练习

1（1）（a4）3＋m

； （2）［（－2）3］2； ⑶［－(a＋b)4］3

类型二 幂的乘方公式的逆用

例1 已知ax＝2，ay＝3，求a2x＋y； ax＋3y 随堂练习

（1）已知ax＝2，ay＝3，求ax＋3y

xx3（2）如果93，求x的值

随堂练习

已知：84×43＝2x，求x

类型三

幂的乘方与同底数幂的乘法的综合应用

例1 计算下列各题

225

（1）(a)a ⑵（－a）2·a7

⑶

x3·x·x4＋（－x2）4＋（－x4）2 （4）（a－b）2（b－a）

4

3、当堂测评

填空题：

1（1）(m2)5＝________；－［(－)3］2＝________；［－(a＋b)2］3＝________．

25223（2）［-(-x)］·(-x)＝________；(xm)3·(-x3)2＝________．

（3）(-a)3·(an)5·(a1-n)5＝________； -(x-y)2·(y-x)3＝________．

（_______）（_______）（4） x12＝（x3）＝（x6）．

（5）x2m(m＋1)＝( )m＋1． 若x2m＝3，则x6m＝________．

（6）已知2x＝m，2y＝n，求8x＋y的值（用m、n表示）．

判断题

（1）a5+a5=2a10 （ ）

336 （2）（s）=x（ ）

（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36 （ ）

（4）x3+y3=（x+y）3 （ ） （5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0 （ ）

4、拓展：

1、

计算 5（P3）4·（－P2）3+2[（－P）2]4·（－P5）2

2、

若（x2）n=x8，则m=_____________. 3、

若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。

4、

若xm·x2m=2，求x9m的值。

5、

若a2n=3，求（a3n）4的值。

6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

回顾小结

5

1.2 幂的乘方与积的乘方（2）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.26

一、学习目标：1．能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则．

2．能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算

二、学习重点：积的乘方的运算。

三、学习难点：正确区别幂的乘方与积的乘方的异同。

四、学习设计：

（一）预习准备

（1）预习书7～8页

（2）回顾：

1、计算下列各式：

526666xx_______xx_______xx_______

（1） （2）

（3）xx3x5_______(x)(x)3_______3x3x2xx4_______

（4）（5）（6）3325235(x)_____(x)_____(a)a_____

（7） （8） （9）33242n3(m)(m)________(x)_____

（10） （11）2、下列各式正确的是（ ）

538236235224(a)a（A）

（B）aaa

（C）xxx（D）xxx

（二）学习过程：

探索练习：

33325_________________________(______)1、

计算：

88825_________________________(______)2、

计算：

12121225_________________________(______)3、

计算：

从上面的计算中，你发现了什么规律？_________________________ 4(__)(___)m(__)(___)(35)35(35)35 4、猜一猜填空：（1） （2）

n(__)(___)(ab)ab（3） 你能推出它的结果吗？

结论：

例题精讲

类型一

积的乘方的计算

6

例1 计算

（1）（2b2）5；

（2）（－4xy2）2 （3）－(－－b）3］5．

随堂练习

（1）(3x3)6 （2）(x3y)2 （3）(-21ab)2 （4）［－2（a2122 xy)（4）［－3（n－m）2］3．

类型二

幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、整式的加减混合运算

例2 计算

（1）［-(-x)5］2·(-x2)3 （2）(cndn1)2(c2d)n

（3）（x＋y）3（2x＋2y）2（3x＋3y）2 （4）（－3a3）2·a3＋（－a）2·a7－（5a3）3

随堂练习

（1）(a2n-1)2·(an＋2)3 （2） (-x4)2-2(x2)3·x·x＋(-3x)3·x5

（3）［(a＋b)2］3·［(a＋b)3］4

类型三

逆用积的乘方法则

例1 计算 （1）82004×0.1252004； （2）（－8）2005×0.1252004．

随堂练习

110.2520×240 -32003·()2002＋

327

类型四

积的乘方在生活中的应用

例1 地球可以近似的看做是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么4V＝πr3。地球的半径约为6103千米，它的体积大约是多少立方千米？

3

随堂练习

（1）一个正方体棱长是3×102 mm，它的体积是多少mm？

（2）如果太阳也可以看作是球体，它的半径是地球的102倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢？”

当堂测评

一、判断题

3333332

1．(xy)＝xy(

) 2．(2xy)＝6xy(

) 3．(-3a)＝9a6(

) 284．(x)3＝x3(

) 5．(a4b)4＝a16b(

) 33二、填空题

1

1．-(x2)3＝_________，(-x3)2＝_________．

2．(-xy2)2＝_________．

22102325

3．81xy＝ (

)． 4．(x)·x＝_________． 5．(a3)n＝(an)x(n、x是正整数)，则x＝_________．

6.（－0.25）11×411＝_______．

（－0.125）200×8201＝____________

4、拓展：

（1） 已知n为正整数，且x2n＝4．求（3x3n）2－13（x2）2n的值． （2）

已知xn＝5，yn＝3，求（xy）2n的值

（3）

若m为正整数，且x2m＝3，求（3x3m）2－13（x2）2m的值．

回顾小结：

1.积的乘方 （ab）n＝ （n为正整数）

2．语言叙述： 3．积的乘方的推广（abc）n＝ （n是正整数）．

8

1.3 同底数幂的除法

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.26

一、学习目标

了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些实际问题

二、学习重点：会进行同底数幂的除法运算。

三、学习难点：同底数幂的除法法则的总结及运用

（一）预习准备

（1）预习书p9-13 （2）思考：0指数幂和负指数幂有没有限制条件？

（3）预习作业：

1．（1）28×28=

（2）52×53=

（3）102×105=

（4）a3·a3=

1685375632．（1）2÷2=

（2）5÷5=

（3）10÷10=

（4）a÷a=

（二）学习过程

上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？

得出：同底数幂相除，•底数

，指数

．

mn即：a÷a=

（a0，m，n都是正整数，并且m>n）

练习：

（1）a5a （2）xx52

（3）y16＝y11

（4）b2m2b2=

（5）xyxy9625

（6）（-ab）÷（ab）=

(7)(mn)8(nm)3=

（8）y3m3ym1=

提问：在公式中要求 m，n都是正整数，并且m>n，但如果m=n或m

计算：32÷32 103÷103 am÷am（a≠0）

32ammm33332

1010

=

aam

3a22（a≠0）

32÷32=3（

）

=3（

）

103÷103=10（

）

=10（

） am÷am=a（

）

=a（

）（a≠0）

于是规定：a0=1（a≠0） 即：任何非0的数的0次幂都等于1 最终结论：同底数幂相除：am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）

想一想： 10000=104 ，

16=24

1000=10（

）， 8=2（

）

100=10 （

）

， 4=2（

）

10=10 （

）， 2=2（

）

猜一猜： 1=10（

） 1=2（

）

9

1=2（

）

210.01=10（

） =2（

）

410.001=10（

） =2（

）

811pa0，app（a0，负整数指数幂的意义：p为正整数）或ap()（aap为正整数）

例1 用小数或分数分别表示下列各数：

0.1=10（

） (1)103___________________________(2)7082_________________________(3)1.6104___________________________________

练习：

1．下列计算中有无错误，有的请改正

(1)a10a2a5

(2)a5aaa5

(3)(a)5(a)3a2

(4)303

2．若(2a3b)01成立，则a,b满足什么条件？

3．若(2x5)0无意义，求x的值

4．若10x7,10y49，则102xy等于？

5．若3xa,3yb，求的32xy4的值

6．用小数或分数表示下列各数：

35522（1）

＝

（2）3＝

（3）4

＝

1185（4）＝

（5）4.2103＝

（6）0.253＝

67．（1）若2x＝1，则x＝3230 （2）若－2－2－2,则x＝x32x

（3）若0.000 000 3＝3×10x，则x10

43

（4）若,则x＝92x

拓展：

8.计算：(3)2n1[27(3)2n]（n为正整数） 9．已知(x1)x21,求整数x的值。

回顾小结：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

11

1.4整式的乘法（1）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.26

一、学习目标：理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算

二、学习重点：单项式乘法法则及其应用

三、学习难点：理解运算法则及其探索过程

（一）预习准备

（1）预习书p14-15 （2）思考：单项式与单项式相乘可细化为几个步骤？

（3）预习作业：

1．下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？

次数：

系数：

2．下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？

1

x

3．（1）(－a5)5＝

（2） (－a2b)3 ＝

（3）(－2a)2(－3a2)3

＝

（4）(－y n)2 y n-1＝

（二）学习过程：

整式包括单项式和多项式，从这节课起我们研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式

例1. 利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，计算下列单项式乘以单项式：

(1) 2x2y·3xy2

(2) 4a2x5·(-3a3bx) 解：原式=(

)(

)(

)

解：原式=(

)(

)(

) (

)

单项式乘以单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

注意：法则实际分为三点：

(1)

①系数相乘——有理数的乘法；此时应先确定结果的符号，再把系数的绝对值相乘

②相同字母相乘——同底数幂的乘法；（容易将系数相乘与相同字母指12

数相加混淆）

③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式．

(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则．

(3)单项式相乘的结果仍是单项式．

例1 计算：

(1) (-5a2b3)(-3a)＝

(2) (2x)3(-5x2y)＝

23（3）x3y2xy2 =_________ (4) (-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)332＝

注意：先做乘方，再做单项式相乘．

练习：1. 判断：

单项式乘以单项式，结果一定是单项式 （ ）

两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积 （ ）

两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积 （ ）

两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（ ）

2. 计算：

1(1)(2xy2)(xy)

(2)(2a2b3)(3a)

3

2(3)(410)5(5104)

(4)(3a2b2)(a3b2)5

231123(5)(a2bc3)(c5)(ab2c)

（6）0.4x2y·（xy）-（-2x）·xy3

2343

拓展：

3．已知am=2,an=3,求(a3m+n)2的值

4．求证：52·32n+1·2n-3n·6n+2能被13整除

回顾小结：

13

1.4 整式的乘法（2）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.26

一、学习目标

经历探索整式的乘法运算法则的过程,会进行简单的整式的乘法运算

二、学习重点：整式的乘法运算

三、学习难点：推测整式乘法的运算法则

（一）预习准备

（1）预习书p16-17 （2）思考：单项式与多项式相乘最容易出错的是哪点？

（3）预习作业：

（1）m2m2＝

（2）(xy)3(xy)2＝

（3）2(ab－3) ＝

（4）(2xy2) ·3yx＝

362（5）(―2ab) (―6abc) ＝

（6）－3(abc+2bc－c) ＝

（二）学习过程：

1．我们本单元学习整式的乘法，整式包括什么？

2．什么是多项式？怎么理解多项式的项数和次数？

整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外，还应该有单项式乘以多项式，今天将学习单项式与多项式相乘

b a 做一做：

如图所示，公园中有一块长mx米、宽y米的空地，根据需要在两边各留下宽为a米、b米的两条小路，其余y 部分种植花草，求种植花草部分的面积. （1）

你是怎样列式表示种植花草部分的面积的?是否有不同的表示方法？其中包含了什么运算? mx

方法一：可以先表示出种植花草部分的长与宽，由此得到种植花草部分面积为

方法二：可以用总面积减去两条小路的面积，得到种植花草部分面积为

由上面的探索，我们得到了

上面等式从左到右运用了乘法分配律，将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式

单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加

例1 计算：

（1）(12xy210x2y21y3)(6xy3) （2）(2a2)(abb2)5a(a2bab2)

14

练习：1．判断题：

(1) 3a3·5a3=15a3

（ ） (2)6ab7ab42ab

( ) (3)3a4(2a22a3)6a86a12 ( ) (4) －x2(2y2－xy)=－2xy2－x3y ( ) 2．计算题：

111(1) a(a22a) (2) y2(yy2)

(3) 2a(2abab2) 623

1(4) －3x(－y－xyz)

(5) 3x2(－y－xy2＋x2) (6) 2ab(a2b－a4b2c) 3

(7) （x3）2―2x3[x3―x（2x2―1）] (8) xn（2xn+2－3xn-1+1）

拓展：

3．已知有理数a、b、c满足 |a―b―3|+（b+1）2+|c－1|=0，求（－3ab）·（a2c－6b2c）的值。

4．已知：2x·（xn+2）=2xn+1－4，求x的值。

5．若a3（3an－2am+4ak）=3a9－2a6+4a4，求－3k2（n3mk+2km2）的值。

回顾小结：

15

1.4 整式的乘法（3）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.26

一、学习目标

1．理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算

二、学习重点：多项式乘法的运算

三、学习难点：探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问题

（一）预习准备

（1）预习书p18-19 （2）思考：如何避免“漏项”？

（3）预习作业：

3（1）(3xy)3________ （2）(x3y)2________

2（3）(2107)4________ （4）(x)(x)2_________

（5）a2(a)6_________ （6）(x3)5__________

（7）(a2)3a5______

（8）(2a2b)3(a5bc)2___________

125（9）2x(2x23x1) （10）(xy)(6xy)

2312

（二）学习过程：

如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？

方法1：S＝

方法2：S＝

方法3：S＝

方法4：S＝

由此得到： (m+b)(a+n) =

＝

运用乘法分配律进行解释，请将其中的一个多项式看作一个整体，再运用单项式与多项式相乘的方法进行计算

（把(a+n)看作一个整体）

(m+b)(a+n)＝

16

多项式与多项式相乘：先用一个

乘以另一个多项式的

，再把所得的积

例1 计算：(1)(1x)(0.6x)

(2)(2xy)(xy)

(3)(x2y)2

(4)(2x5)2

例2 计算：

(1)(x2)(y3)(x1)(y2)

(2)a2(a1)22(a1)(a2)

练习：

11（1）(x2)(x3) （2）(a4)(a1) （3）(y)(y)

23

（4）(2x1)2 （5）(3xy)(3xy)（6）(x2)(x22x)(x2)(x22x)

拓展

1．(x5)(x20)x2mxn 则m=_____ ， n=________ 2．若(xa)(xb)x2kxab

，则k的值为（ ）

（A） a+b （B）

－a－b （C）a－b （D）b－a 3．已知(2xa)(5x2)10x26xb 则a=______ b=______ 4．在x2px8与x23xq的积中不含x3与x项，求P、q的值

回顾小结： 17

1.5 平方差公式（1）

主备：赵继红

审核：七年数学组

时间：2019.2.26

一、学习目标

会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算

二、学习重点：掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式

三、学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式

四、学习设计

（一）、预习准备

1、预习书p20-21 2、思考：能运用平方差公式的多项式相乘有什么特点？

3、预习作业：

（1）x2x2

（2）（m+3）（m-3）

（3）（-x+y）（-x-y）

（4）13a13a （5）x5yx5y

（6）（2x+1）（2x-1）

（二）、学习过程

以上习题都是求两数和与两数差的积，大家应该不难发现它们的规律．用公式可以表示为：

abab

－

我们称它为平方差公式

平方差公式的推导

（a＋b）（a－b）＝

（多项式乘法法则）＝

（合并同类项）

即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差

平方差公式结构特征：

①

左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②

右边是乘式中两项的平方差。即用相同项的平方减去相反项的平方

例1计算：

（1）(2x3)(32x)

（2）(3b2a)(2a3b)

（3）(4a1)(4a1)

18

变式训练：1、用平方差公式计算：

1111（1）(xy)(xy)； （2）(2m27)(72m2)； 23232．如果xy4,xy8，那么代数式x2y2的值为____________ 注意：（1）公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式

例2．下列各式都能用平方差公式吗? （1）abac

（2）xyyx

（3mnmn

（4）(a3)(a3)

（7）(2a3b)(2a3b) （5）(a3)(a3)

（6）(a3)(a3)

（8）(2a3b)(2a3b)

）（9）(2a3b)(2a3b) （10）(2a3b)(2a3b)

（11）ab3x3xab

能否用平方差公式，最好的判断方法是：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数

在平方差这个结果中谁作被减数,谁作减数,你还有什么办法确定?

相等数的平方减去相反数的平方

变式训练：1、判断

1112（1）

（2）（ ） 2ab2ba4a2b2 （ ）x1x1x1 222（3）3xy3xy9x2y2 （ ）

（4）2xy2xy4x2y2 （ ） x3y3xy9 （5）（ ）

（6）（ ）

a2a3a26

2、填空：

（1）2x3y2x3y （2）4a1（3）16a21

11abab374922（4）9 2x3y4x29y2

拓展：

1、计算：（1）(abc)2(abc)2

19

（2）x42x212x21x2x2x24

2．先化简再求值xyxyx2y2的值，其中x5,y2

3．（1）若x2y212,xy6,则xy=

（2）已知(2a2b1)(2a2b1)63，则ab____________

回顾小结：

20