平方差公式的应用板书设计及意图

1.5.2 平方差公式

教学目标

知识与技能：1．进一步使学生掌握平方差公式，会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算

2.会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算. 过程与方法：1.经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景. 2.通过创设问题情境，让学生通过探索规律，归纳出利用平方差公式，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算. 培养学生观察、归纳、应用能力. 情感态度与价值观：在探究学习中培养学生的观察、归纳、应用能力和数形结合意识，体会数学的现实意义和价值. 教学重难点

教学重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用. 教学难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能. 教学过程

一、知识回顾

1.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们平方的差. 2.公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差. 3.应用平方差公式的注意事项：（1）注意算式是否符合平方差公式的特点.（2）字母a、b可以是数，也可以是整式.（3）注意计算过程中的符号和括号. 二、新课引入

如图，边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形.

（1）请表示图中阴影部分的面积： （2）请你将阴影部分拼成一个长方形，请在上面画出来，这个长方形的长和宽分别是多少？面积是多少？

长＝ 宽＝ 二、讲解新课

1.计算下列各组算式，并观察它们的特点：

7×9= 11×13= 79×81= 8×8= 12×12= 80×80= 2.从以上过程中，你发现了什么规律？

3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

例3用平方差公式计算：

(1)103×97 (2)118×122 解：（1）103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991. （2）118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396. 例4计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3). 解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2

=a2(a2－b2)+a2b2

=a4－a2b2+a2b2

=a4

(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3) =(2x)2－52－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x

=6x－25 三、合作探究

【类型一】

利用平方差公式进行简便运算

（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？

12利用平方差公式计算：(1)20×19； (2)13.2×12.8.

331211解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方3333差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．

12111212解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝20－()＝400－＝3333398399；

9(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．

【类型二】

平方差公式的几何背景

如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．

解析：∵图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积1是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即2可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．

【类型三】

平方差公式的实际应用

王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？

解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．

解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．

方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．

四、随堂练习

1.选择题

(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a－b)(a－b) B.(c2－d2)(d2+c2) C.(x3－y3)(x3+y3) D.(m－n)(－m+n) (2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是( ) A.x4－1 B.x4+1 C.(x－1)4

D.(x+1)4

(3)下列各式中，结果是a2－36b2的是( ) A.(－6b+a)(－6b－a) B.(－6b+a)(6b－a) C.(a+4b)(a－4b) D.(－6b－a)(6b－a) 2.填空题

(4)(5x+3y)·( )=25x2－9y2

(5)(－0.2x－0.4y)( )=0.16y2－0.04x2

292(6)(－3x－11y)( )=－x+121y

24(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2,则A= ，B= . 五、课堂小结

1．平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2．

用语言叙述为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．

2．平方差公式的几何意义：

左边：S阴=a2-b2；右边=(a+b)(a-b). 上图可验证平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2. 注意：1．这个公式是由多项式乘法直接计算得到的. 2．公式的特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，相同的项的平方减去符号相反的项的平方，只要符合这一特征，可运用公式进行计算. 3．平方差公式也可逆用，即a2-b2=（a+b）（a-b）. （1）运用平方差公式计算时，一定要注意公式中相同的项为a，互为相反数的项为b，同时含有系数项的不要忘记给系数平方．

（2）进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要带上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算. 方法技巧：用公式时，找a与b的简便方法：(1)由于（a+b）（a-b）可看作（a+b）[a+（-b）]，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b是互为相反数的，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的顶（b与-b）的平方．(2)运用平方差公式进行运算，是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反数的项作为b．

平方差公式常用的几种变形形式：

(1)位置变化：(b+a)(-b+a）=(a+b)(a-b）=a2 -b2；

(2)符号变化：（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-(a2-b2)；

(3)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2；

(4)指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4；

(5)增项变化：（a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2；

五、板书设计

1.5.2平方差公式

平方差公式：

（a+b）（a-b）

=a-b

22例3计算：

（1）103×97 ；

（2）118×122

例4 计算：

（1）a（a+b）（a-b）+ab

； （2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）

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