平方差公式的应用优质课教案内容

1.5

平方差公式(二) ●教学目标

(一)教学知识点

1.了解平方差公式的几何背景. 2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. 3.体会符号运算对证明猜想的作用. (二)能力训练要求

1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求

1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣. 2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美. ●教学重点

平方差公式的几何解释和广泛的应用. ●教学难点

准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能. ●教学方法

启发——探究相结合

●教具准备

一块大正方形纸板，剪刀. 投影片四张

第一张：想一想，记作(§1.5.2 A) 第二张：例3，记作(§1.5.2 B) 第三张：例4，记作(§1.5.2 C) 第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D) ●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a. 这个正方形的面积是多少？

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［生］a2. ［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？

图1－23 ［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2). ［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论. (教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法) ［生］老师，我们拼出来啦. ［师］讲给大伙听一听. ［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).

图1－24 ［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？

［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.

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［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式. ［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了. ［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证. ［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学***方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用. Ⅱ.讲授新课

［师］出示投影片(§1.5.2 A) 想一想：

(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点

79

881113

12127981

8080(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

［生］(1)中算式算出来的结果如下

7963

88641113143

121214479816399

80806400［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1. ［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？

［生］我猜想是.我又找了几个例子如：

133

224199999910

010010000102426624

2525625［师］你能用字母表示这一规律吗？

［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1,则有(a+1)(a－1)=a2－1. ［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明. ［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？

(同学们惊讶，然后讨论) ［生］a可以代表任意一个数.

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［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡. ［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？

(陷入沉思) ［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899. ［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了. 我们不妨再做几个类似的练习. 出示投影片(§1.5.2 B) ［例3］用平方差公式计算：

(1)103×97

(2)118×122 ［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙. ［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！

［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.

118=120－2,122=120+2 118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396. ［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出. ［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.5.2 C). ［例4］计算：

(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3). 分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简. 解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2

=a2(a2－b2)+a2b2

=a4－a2b2+a2b2

=a4

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(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3) =(2x)2－52－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25 注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体. ［例5］公式的逆用

(1)(x+y)2－(x－y)2

(2)252－242

分析：逆用平方差公式可以使运算简便. 解：(1)(x+y)2－(x－y)2

=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］

=2x·2y =4xy (2)252－242

=(25+24)(25－24) =49 Ⅲ.随堂练习

1.(课本P22)计算

(1)704×696 (2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) (3)x(x－1)－(x－1)(x+1) 33(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠) 解：(1)704×696=(700+4)(700－4) =490000－16=489984 (2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) =(x2－4y2)+(x2－1) =x2－4y2+x2－1 =2x2－4y2－1 (3)x(x－1)－(x－1)(x+1) 33

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=(x2－x)－［x2－(1)2］

3=x2－x－x2+1=1－x 992.(补充练习) 出示投影片(§1.5.2 D) 解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1) (先由学生试着完成) 解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2) =(7x+1)(x－1) (2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1 4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1 6x=12

x=2 Ⅳ.课时小结

［师］同学们这节课一定有不少体会和收获. ［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面. ［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇. ［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了. ……

Ⅴ.课后作业

课本习题1.10. Ⅵ.活动与探究

计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.

［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式. ［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1) =(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)

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=1990+1989+1988+1987+…+2+1

=1990(19901)

2=1981045 ●板书设计

§1.5.2

平方差公式(二) 一、平方差公式的几何解释：

二、想一想

特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明

即(a+1)(a－1)=a2－1 三、例题讲解：例3

例4 四、练习

●备课资料

参考练习

1.选择题

(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是(

) A.(－a－b)(a－b)

B.(c2－d2)(d2+c2) C.(x3－y3)(x3+y3)

D.(m－n)(－m+n) (2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是(

) A.x4－1

B.x4+1 D.(x+1)4

C.(x－1)4

(3)下列各式中，结果是a2－36b2的是(

) A.(－6b+a)(－6b－a)

B.(－6b+a)(6b－a) C.(a+4b)(a－4b)

D.(－6b－a)(6b－a) 2.填空题

(4)(5x+3y)·(

)=25x2－9y2

(5)(－0.2x－0.4y)(

)=0.16y2－0.04x2

(6)(－3x－11y)(

)=－9x2+121y2

24(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2,则A=

，B=

. 3.计算

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(8)(2x2+3y)(3y－2x2). (9)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5). (10)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3). 4.求值

(11)(上海市中考题)已知x2－2x=2,将下式先化简，再求值

(x－1)2+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1) 5.探索规律

(12)(北京市中考)观察下列顺序排列的等式：

9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 ……

猜想：第n个等式(n为正整数)应为

. 答案：1.(1)D

(2)A

(3)D 2.(4)(5x－3y)

(5)(0.2x－0.4y) (6)(3x－11y)

(7)A=4n,B=7m 23.(8)9y2－4x4

(9)p4－29p2+100 (10)x2y－10 4.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=1 5.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).

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