等可能事件频率的稳定性主要内容及教案内容

第六章

概率初步

2 频率的稳定性（第2课时）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在小学已经会求简单事件发生的可能性。对简单事件发生的可能性能够做出预测，并阐述自己的理由。前面一节课中又学习了在实验次数很大时，不确定事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动。学生具备了进一步学习由不确定事件发生的频率来估计事件发生的概率的能力。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经体验实验次数很大时，不确定事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教科书基于学生对事件发生等可能性的认识，提出了本课的具体学习任务：使学生经历“猜测—实验和收集实验数据—分析试验结果—验证猜测”的过程，了解频率的稳定性和如何通过大量重复实验发生的频率来估计事件发生的概率。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，本课内容从属于“统计与概率”这一数学学习领域，因而务必服务于概率教学的远期目标：“让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及做出推断的全过程，发展学生的统计与概率意识”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的

教学目标：

1.知识与技能:学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题,解决问题的能力

2.过程与方法:.通过对问题的分析,理解并掌握用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法. 3.情感态度与价值观:通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身边”，发展学生的应用数学的能力

教学重点：再次通过掷硬币实验，感受试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性,通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率. 教学难点:通过对问题的分析,理解并掌握用频率来估计概

率的方法,渗透转化和估算的思想方法. ：学习方式：学生在教师指导下进行“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”的一系列活动，积极思考，独立探索，自己发现并掌握相应的规律。 教学方式：通过具体的现实情境，从学生已有的生活经验出发，通过“猜想→实验→分析→交流→发现→应用”，经历一番前人发现这个结果的“浓缩”过程，培养学生发现问题、解决问题的能力。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：课前准备；创设情境导入新课

；合作交流，获取数据；操作交流，探究新知；新知的应用过程

；回忆思考，归纳小结；布置作业。

第一环节

课前准备

以2人合作小组为单位准备一元硬币。

第二环节

创设情境，导入新课

活动内容：教师抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现正面朝上、正面朝下两种情况，你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？（让学生体验数学来源于生活）。

活动目的：由掷硬币游戏培养学生猜测游戏结果的能力，并从中初步体会猜测事件可能性。让学生体会猜测结果，这是很重要的一步，我们所学到的很多知识，都是先猜测，再经过多次的试验得出来的。而且由此引出猜测是需通过大量的实验来验证。这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题）。

实际教学效果：学生在生活中存在的问题进行猜测，而且互相竞争，气氛热烈。事实上，学生对游戏发生的可能性进行猜测的过程，就已经开始体会事件发生的可能性，这就为下一环节用实验验证事件发生的可能性打好基础。

第三环节

合作交流，获取数据

活动内容：参照教材提供的任意掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上和正面朝

下两种结果，让同学猜想正面朝上和正面朝下的可能性是否相同的情境，让学生来做做试验。

请同学们拿出准备好的硬币：

（1）同桌两人做20次掷硬币的游戏，并将数据填在下表中：

试验总次数

正面（壹圆）朝上的次数

正面朝下的次数

正面朝上的频率

（正面朝上的次数/试验总次数）

正面朝下的频率

（正面朝下的次数/试验总次数）

…

（2）各组分工合作，分别累计进行到20、40、60、80、100、120、140、160、180、200次正面朝上的次数，并完成下表：

试验总次数

正面朝上的次数

正面朝上的频率

活动目的：一是通过实验让学生体验等可能性事件发生的可能性的发现过程。二是培养学生的合作精神，通过实验和收集实验数据的过程使学生之间增进感情，并明白团队精神的重要性。

实际教学效果：学生经过这一环节对等可能性事件发生的可能性的发现过程有了全面地认识，通过实验进一步使学生理解事件发生的可能性，领会数学是来源于生活，进一步了解不确定事件的特点，发展随机观念；在丰富的问题情境中认识到概率是刻画不确定现象的数学模型。

第四环节

操作交流，探究新知

20 40 60 80 100

120

140 160 180

200

20

活动内容：1．请同学们根据已填的表格，完成下面的折线统计图

正面朝上的频率

1.0

0.8

0.6

0.5

0.4

0.2

2．观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？

当试验的次数较少时,折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度较大,与开始的猜测有矛盾，让学生动脑得出造成这种结果的原因是实验的次数不够，培养学生发现问题、解决问题的能力。从而使学生自发的把全班试验的结果都统计出来，学会进行实验和收集实验数据。学生们进一部体会到团队合作的重要性。

学生在单独一个小组进行试验时各小组之间正面朝上的频率数据差距较大，与猜测产生矛盾，学生对产生的矛盾进行了讨论，最终得出造成这种结果的原因是实验的次数不够，使学生能够自己去发现问题，从而得出把全班各个小组的总试验次数统计出来。接下来对如何把全班的试验的结果都统计出来产生了激烈的争论，最终决定全班同学按两人小组为单位顺时针报数，在此一名同学统计数据，一名同学计算正面朝上的频率，一名同学在黑板上画折线统计图。3．下表列出了一些历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据：

试验者

投掷次数n 正面出现

次数m 布 丰

德∙摩根

费 勒

4040 4092 10000 2048 2048 4979 正面出现

的频率m/n 0.5069 0.5005 0,4979 试验总次数

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

皮尔逊

皮尔逊

维 尼

罗曼诺夫

斯 基

12000 24000 30000 80640 6019 12012 14994 39699 0.5016 0.5005 0.4998 0.4923 表中的数据支持你发现的规律吗？

4．总结新知：

（1）、

在实验次数很大时事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，这个性质称为

：频率的稳定性。

（2）、我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A的概率，记为P(A)。

（3）、一般的，大量重复的实验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。

（4）

频率与概率的关系

联系：在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值. 区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个确定数，是客观

存在的，与每次试验无关. 5．想一想：

事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？必然事件发生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少? 必然事件发生的概率为1；

不可能事件发生的概率为0；

不确定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。

活动目的：突出本节课的重点

：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率，并掌握三类事件的概率值。

实际教学效果：学生通过小组之间的合作、交流，对不确定事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。再通过对历史上数学家所作掷硬币试验数据的讨论学生的思维变得更加活跃，为回答接下来的新知应用做好准备。

第五环节 新知的应用过程

(一)

学以致用。

由学生利用刚刚学习的概率的知识解决教材中掷硬币的问题 题目内容：

1、由上面的实验，请你估计抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上和正面朝下的概率分别是多少？他们相等吗？

(二)

典例精析

学生利用刚刚学习的由事件发生的频率来估概率解决实际问题，使学生体会数学来源于生活又能解决生活中的实际问题。 例 1:在一个不透明度袋子里装有只有颜色不同的黑白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随即摸出一个球记下颜色后，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中一组统计数据

：

摸球的次数n

摸到白球的次数m

摸到白球的频率

100 58 0.58

150 96 0.64

（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将接近 ____ . （结果精确到0.01）

（2）假如你去摸一次，你摸到白球的

概率是____,摸到黑球的概率是____ . （3）试估算口袋中黑白两种颜色的球各有多少个。

（4）解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了。这个问题：在一个不透明的袋子里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他用品）？请你运用统计与概率

的思想方法解决这个问题，写出解决这个问题主要步骤及计算方法

(三)随堂练习

通过让学生自由选择任务难度，实现分层次教学。在好学生的引领下，逐步突出本节课的重点知识

题目内容：

1、下列事件发生的可能性为0的是（

）

200 116 0.58

500 295 0.59

800 484 1000 601 0.605

0.601

Ａ.掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上

Ｂ.小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟

Ｃ.今天是星期天，昨天必定是星期六

Ｄ.小明步行的速度是每小时40千米

2、

口袋中有9个球，其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列事件中，发生的可能性为1的是（ ）

A.从口袋中拿一个球恰为红球 B.从口袋中拿出2个球都是白球

C.拿出6个球中至少有一个球是红球 D.从口袋中拿出的球恰为3红2白

3、小凡做了5次抛掷均匀硬币的实验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他认为正面朝上的概率大约为32,朝下的概率为，你同意他的观点吗？55你认为他再多做一些实验，结果还是这样吗？

设计说明：

（一）结合新旧知识发现重要结论。

（二）应用所学新知解决典型概率问题，解决与生活实际联系紧密的问题。

（三）灵活应用所学知识完成主观问题。培养学生的有条理表达能力，是学生更好的掌握本节课的内容。

第六环节 回忆思考，归纳小结

活动内容：对本节课的知识进行回顾，师生互相交流怎样使用统计来估计事件发生的概率,怎样求简单事件的概率。

活动目的：使学生对用统计来估计事件发生的概率,怎样求简单事件的概率加深理解并将所学知识应用到实际生活中去。

实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，用统计来估计事件发生的概率,怎样求简单事件的概率有了准确的理解，树立正确的随机观念，通过现实世界中熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验。

第七环节 布置作业

课本习题6.3 1.2.3 四、

教学设计反思

1．要创造性的使用教材，不拘泥于教材的形式。

教材为学生的学习活动提供了基本线索，实施新课程目标、实施教学的重要资源。在教学中要创造性地使用教材。本节课教师通过具体的现实情境，充分利用学生的生活经验，让学生体验到数学来源于生活，打破了传统的注入式的教学模式，通过一系列精心设计把它改成学生所经历的情境引入课题，激发了学生的学习兴趣。在教学中引导学生进行“猜想一实验一分析一交流一发现一应用”，

学生在操作、思考、交流中不断地发现问题，解决问题，极大地调动了学生的学习的积极性，让学生尝到了成功的喜悦，激发了学生的发现思维的火花，经历了一番前人发现这个结果的“浓缩”过程，从而培养了学生独立探究和解决问题的能力。

2．

相信学生并为学生提供充分展示自己的机会

通过课堂上小组合作掷硬币试验、并展示试验结果的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。

3．注意改进的方面

在小组做出猜测之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思

维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组合作给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，在统计实验数据时应给与学生一定的指导，使小组合作学习更具实效性。教师应注意激发学生的内在动机，通过学生的发现给他们带来满足感，成动感。