习题2.2名师教学实录

对数与对数函数

基础巩固

1.函数y=

-

的定义域是(

)

A.[1,2] 答案D 解析由lo

(2x-1)≥0,可得0<2x-1≤1,即

B.[1,2) C.

D.

2.已知x=ln π,y=log52,z=

,则(

) A.x

C.z

B.z

D.y

-

答案D 解析∵x=ln π>ln e,∴x>1.

又y=log52

,∴0

.

又z=

-

,∴

综上可得,y

3.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是(

)

答案B 解析易知f(x)为偶函数,故只需考虑x>0时,f(x)=lg(x-1)的图象.

将函数y=lg x的图象向右平移一个单位得到f(x)=lg(x-1)的图象,再根据偶函数性质得到f(x)的图象.

4.函数f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是

(

) A.(1,+∞) B.(0,1) 1

C.

D.(3,+∞) 答案D 解析∵a>0,且a≠1,∴u=ax-3在R上为增函数.

又∵f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增, ∴y=logau必为增函数.∴a>1.

又y=ax-3在[1,3]上恒为正, ∴a-3>0,即a>3,故选D.

则f(f(1))+f

的值是(

) 5.(2016江西八校联考)已知函数f(x)=

-

A.5 答案A 解析由题意可知f(1)=log21=0,f(f(1))=f(0)=30+1=2,f

-

B.3 C.-1 D.

+1=

+1=2+1=3,故f(f(1))+f

=5.

6.已知函数f(x)=ax+logax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为(

) A.

B.

C.2 D.4 答案C 解析显然函数y=ax与y=logax在[1,2]上的单调性相同,因此函数f(x)=ax+logax在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+loga1)+(a2+loga2)=a+a2+loga2=loga2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选C. 7.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于(

) A.log2x

B.

C.lo

x

D.2x-2

答案A 解析由题意知f(x)=logax.∵f(2)=1,∴loga2=1.

∴a=2.∴f(x)=log2x.

8.(2016山东济宁一模)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-

,且在(0,1)上f(x)=3x,则f(log354)等于(

) A.

答案C 解析由奇函数f(x)满足f(x+2)=-

,得f(x+4)=-

=f(x),故f(x)的周期为4.

2

B.

C.-

D.-

所以f(log354)=f(3+log32)=f(-1+log32)=-f(1-log32)=-

-

=-

=-

.

9.(2016全国乙卷,文8)若a>b>0,0

) A.logac

B.logca

C.ac

D.ca>cb

答案B 解析对于A,logac=

,logbc=

.

∵0logbc; 若00, 即logac

,

,

,

即logac>logbc.

故A不正确;由以上解析可知,B正确; 对于C,∵0

∵a>b>0,∴ac>bc,故C不正确; 对于D,∵0

∵a>b>0,∴ca

10.(2016河南八市重点高中4月质检)若不等式f(x)≤0(x∈R)的解集为[-1,2],则不等式f(lg x)>0的解集为

.

答案

或

解析因为不等式f(x)≤0(x∈R)的解集为[-1,2], 所以f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).

所以不等式f(lg x)>0的解集为

-

或

即

或

.

11.函数f(x)=log2

·lo

(2x)的最小值为

.

答案-

3

解析由题意可知x>0,故f(x)=log2

·lo

(2x)=

log2x·log2(4x2)=

log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=

≥-

.当且仅当x=

时,有f(x)min=-

.

12.已知函数f(x)=loga(ax2-x+3)在[1,3]上是增函数,则a的取值范围是

.

答案

∪(1,+∞) 解析令t=ax2-x+3,则原函数可化为y=f(t)=logat.

当a>1时,y=logat在定义域内单调递增,故t=ax2-x+3在[1,3]上也是单调递增,所以

-

可得a>1;

当0

-

可得0

,故a>1或0

.

能力提升

13.已知f(x)=lg

-

是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是(

) A.(-1,0) C.(-∞,0) 答案A B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

解析由f(x)是奇函数可得a=-1,故f(x)=lg

-

,定义域为(-1,1).

由f(x)<0,可得0<

-

<1,即-1

14.设a,b,c均为正数,且2=lo

a,

=lo

b,

=log2c,则(

)

a

A.a

C.c

答案A B.c

D.b

解析∵a>0,∴2a>1.∴lo

a>1,∴0

.

又b>0,∴0<

<1, ∴0

b<1,∴

4

又

>0,∴log2c>0,∴c>1, ∴0

,则f(log220)等于(

) A.1 B.

C.-1 D.-

答案C 解析由f(x-2)=f(x+2),得f(x)=f(x+4).

因为4

=- 16.

答案2 x-1

=-1.

方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为

. 2

-

-

解析设3=t(t>0),则原方程可化为log2(t-5)=log2(t-2)+2,即

解得t=3.故

-

x=2.

17.

定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是

. 答案(-∞,-2)∪

解析由已知条件可知,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).

当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1, 即为log2x<-1,解得0

; 当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1, 即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.

所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪

.

高考预测

18.已知a=log23+log2

,b=log29-log2

,c=log32,则a,b,c的大小关系是(

) A.a=b

B.a=b>c

C.a

D.a>b>c

5

答案B 解析因为a=log23+log2

=log23

log23>1,b=log29-log2

=log23

=a,c=log32c.

6