小结优质公开课教案

函数题型总结：

一、

求函数的定义域

1、求下列函数的定义域：

⑴yx22x15x12 ⑵y1() ⑶yx33x1111x1(2x1)04x2

22、设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的定义域为_ _ _；函数f(x2)的定义域为________； 3、若函数f(x1)的定义域为[2，3]，则函数f(2x1)的定义域是 ；函数f(2)的定义域为 。

4、

知函数f(x)的定义域为[1,

1]，且函数F(x)f(xm)f(xm)的定义域存在，求实数m的取值范围。

1x二、求函数的值域

5、求下列函数的值域：

⑴yx22x3

(xR) ⑵yx22x3

x[1,2] ⑶y3x13x1 ⑷y

(x5)

x1x15x2＋9x42x6⑸

y ⑹

y ⑺yx3x1 ⑻yx2x

2x1x2⑼

yx24x5 ⑽

y4x24x5 ⑾yx12x

三、求函数的解析式

1、

已知函数f(x1)x4x，求函数f(x)，f(2x1)的解析式。

2、

已知f(x)是二次函数，且f(x1)f(x1)2x4x，求f(x)的解析式。

3、已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4，则f(x)= 。

4、设f(x)是R上的奇函数，且当x[0,)时，

f(x)x(13x)，则当x(,0)时f(x)=____ _

f(x)在R上的解析式为 5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|xR,且x1}，f(x)

是偶函数，g(x)是奇函数，且22f(x)g(x)1，求f(x)与g(x)

的解析表达式

x1四、求函数的单调区间

1

6、求下列函数的单调区间：

⑴

yx22x3 ⑵yx22x3 ⑶

yx6x1 7、函数f(x)在[0,)上是单调递减函数，则f(1x2)的单调递增区间是 28、函数y2x2x的递减区间是 ；函数y的递减区间是 3x63x6五、判断是否为同一函数

9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）

⑴y1(x3)(x5)，

y2x5； ⑵y1x1x1

， y2(x1)(x1)

； x3⑶f(x)x，

g(x)

x2

；

⑷f(x)x， g(x)3x3；

⑸f1(x)(2x5)2，

f2(x)2x5。 A、⑴、⑵ B、 ⑵、⑶ C、 ⑷ D、 ⑶、⑸

六、图形变换：

1．平移变换：（1）水平平移：函数yf(xa)的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可得到；

（2）竖直平移：函数yf(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上(a0)或向下(a0)平移|a|个单位即可得到．

左移h右移h上移h下移h①

y=f(x)y=f(x+h); ②

y=f(x) y=f(xh); ③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)h.

2．对称变换：（1）函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于y轴对称即可得到；

（2）函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称即可得到；

（3）函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于原点对称即可得到；

（4）函数yfx轴1(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线yx对称得到．

y轴直线xa①y=f(x) y= f(x);

②y=f(x) y=f(x);

③y=f(x) 直线yxy=f(2ax);

④y=f(x)

y=f(x);

⑤y=f(x) y= f(x).

2 1原点

6．翻折变换：（1）函数y|f(x)|的图像可以将函数yf(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留yf(x)的x轴上方部分即可得到；

（2）函数yf(|x|)的图像可以将函数yf(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留yf(x)在y轴右边部分即可得到．

yyy=f(x)y=|f(x)|yy=f(|x|)aobcxao

bcxao

bcx

1、函数yf(x)与yg(x)的图像如下图：则函数yf(x)g(x)的图像可能是（ ）

yy=f(x)oxoyy=g(x)x

yyyxyxooxoox

A

B

C

D

2、

说明由函数y2的图像经过怎样的图像变换得到函数y23、（1）试作出函数yxxx31的图像．

1的图像；

x2（2）对每一个实数x，三个数x,x,1x中最大者记为y，试判断y是否是x的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？

小练习：

1．下列每组两个函数的图象中，正确的是（

）

3

yy=ax+1y1o1x-1o1y=logaxy=ax1xy=ax+1y=ax1oyy=ax+1x1oyy=ax+1y=ax+1x

2．已知函数f(x)=(x1)/a (a>0,a≠1),在同一坐标系中，y=f1(x)与y=a|x1|的图象只可能是(

) y1-1y1y1y1o1Ax-1o1Bx-1o1

Cx-1o1Dx

x3．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()的图象只可能是

bay1-1y1y1y11o1Ax-1o1Bx-1oCx-1o1Dx

4．已知函数y=a/x与y=ax2+bx, 则下列图象正确的是（

）

yyyyoAxoBxoCxoDx

25．函数y=|1x|的图象是（

）

yyyyoAxoBxoxCoDx

6．函数y=(3x1)/(x+2)的图象

（

）

A.关于点(2,3)对称

B.关于点(2,3)对称

C.关于直线x= 2对称

D.关于直线y= 3对称

七、反函数：

1、存在反函数的条件

2函数f(x)x2ax3在区间1，2上存在反函数的充要条件是（

）

A. a，1 

B. a2，

D. a1，2

C. a，12，

2.

反函数的求法类型

4

2.

（2005年全国卷）函数yA. yC. y3x21(x0)的反函数是（

）

(x1)3(x1)

B. y(x1)3(x1)

(x1)3(x0)

D. y(x1)3(x0)

3.反函数的定义域和值域：

3.若f1(x)为函数f(x)lg(x1)的反函数，则f－1（x）的值域为_________。

4. 反函数的图象类型

4. 已知函数ylog2x的反函数是yf1(x)，则yf1(1x)的图象是（

）

八、单调性与最大（小）值：

2在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

x112.证明：函数f(x)1在(,0)上是增函数.

x1．求函数y3．求函数yx1x的最大值

4. 求y|x1||x2|的最小值。

5.求函数y2xx1的最小值.

九、奇偶性

1．判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)x11

（2）f(x)2．

xx12x1(x0)2（3）

g(x)

（4）y1x2x21

1x21(x0)2巩固练习：

1、判别函数f(x)＝|x＋1|+|x－1|的奇偶性。

2.设f(x)＝ax7＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝十：二次函数根的分布问题：

1，求f(x)、g(x)。

x1例1（1）关于x的方程x22(m3)x2m140有两个实根，且一个大于1，一个小于1，

5

求m的取值范围；

（2）关于x的方程x22(m3)x2m140有两实根都在[0,4)内，求m的取值范围；

⑶关于x的方程x22(m3)x2m140有两实根在1,3外，求m的取值范围

（4）关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围. 例2（1）已知函数f(x)ax2a2，若f(x)0有解，求实数a的取值范围；

（2）已知f(x)x24x，当x[1,1]时，若f(x)a恒成立，求实数a的取值范围。

【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）f(x)a恒成立[f(x)]mina；（2）f(x)a恒成立（4）f(x)a有解[f(x)]mina.

[f(x)]maxa;（3）f(x)a有解[f(x)]maxa；

十一．函数的周期性：

若f(xa)f(x)；f(xa)11；f(xa)；则f(x)周期是2a

f(x)f(x)例1、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为

(A)－1

(B) 0

(C)

1

(D)2 例2、十二、抽象函数。

________1, 已知f(x)是定义在（0，+∞)上的增函数，且f()f(x)f(y)

(1)求f(1)的值

(2）若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f()＜2

2、已知f(x)在定义域0到正无穷上为增函数，且f(xy)=f(x)+f(y) ,f(2)=1 解不等式f(x)-f(x-3)大于3

6 xy1x

3、1）已知f(x)是一次函数，且有f[f(x)]=9x+8,求f(x)；

（2）已知f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x)。

十三、分段函数

1log2x，x≥1，例1

函数f(x)＝的值域为________．

x2，x<1－x＋2x，x>0，例2

已知函数f(x)＝0，x＝0，x2＋mx，x<0(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

小练习：

1x2，x≤1，1．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．

1－log2x，x>1，－

2

是奇函数．

a－3x＋5，x≤1，2．已知函数f(x)＝2a是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________．

，x>1x3．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，

gx＋x＋4，x

则f(x)的值域是______________________．

gx－x，x≥gx，

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