实习作业优秀教案案例

习题课

集

合

学习目标

1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．

1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．

2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉. 3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图法，常用数集字母代号．

4．集合间的关系与集合的运算

子集

符号

A⊆B 定义

x∈A⇒x∈B Venn图

真子集

AB A⊆B且存在x0∈B但x0∉A

并集

A∪B {x|x∈A或x∈B}

交集

A∩B {x|x∈A且x∈B}

补集

5.常用结论

(1)∅⊆A；

∁UA(A⊆U) {x|x∈U且x∉A}

(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B. (3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B. (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.

1．若A＝{x，|x|}，则x<0.(√) 2．任何集合至少有两个子集．(×)

23．若{x|ax＋x＋1＝0}有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a＝0.(×) 4．设A，B为全集的子集，则A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.(√)

类型一

集合的概念及表示法

例1

下列表示同一集合的是(

) A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)} B．M＝{2,1}，N＝{1,2} C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N} D．M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R} 考点

集合的表示综合

题点

集合的表示综合问题

答案

B 解析

A中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；

B中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；

C中M，N均为数集，显然有MN；

D中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1的y的取值，故选B. 反思与感悟

要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．

跟踪训练1

设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________. 考点

交集的概念及运算

题点

无限集合的交集运算

答案

{(4,4)} x－y＝0，x＝4，解析

由得∴A∩B＝{(4,4)}．

2x－3y＋4＝0，y＝4.

类型二

集合间的基本关系

例2

若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集合．

考点

子集及其运算

题点

根据子集关系求参数的取值范围

解

由题意得，P＝{－3,2}．

当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；

1当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－，

a11为满足S⊆P，可使－＝－3，或－＝2，

aa11即a＝，或a＝－. 3211故所求集合为0，3，－2. 反思与感悟

(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．

(2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．

跟踪训练2

下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若集合A＝∅，则∅⊆A；

②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；

③已知集合A＝{x|12. 考点

集合的包含关系

题点

集合包含关系的判定

答案

③

解析

∅是任何集合的子集，故①正确；

∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，

∴A＝B，故②正确；

若A⊆B，则a≥2，故③错误.

1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(

) A．2个

B．4个

C．6个

D．8个

考点

交集的概念及运算

题点

有限集合的交集运算

答案

B 2．下列关系中正确的个数为(

) ①2∈R；②0∈N*；③{－5}⊆Z. 2A．0

B．1

C．2

D．3 考点

元素与集合的关系

题点

判断元素与集合的关系

答案

C 解析

①③正确．

3．已知P＝{y|y＝a2＋1，a∈R}，Q＝{m|m＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是(

) A．P⊆Q

C．P＝Q

考点

集合的包含关系

题点

集合包含关系的判定

答案

D 解析

∵P＝{y|y≥1}，

2Q＝{m|m＝x－2＋1}＝{m|m≥1}，

B．P⊇Q

D．P∩Q＝∅

∴P＝Q. ∴A，B，C皆正确．

4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁IM)∩(∁IN)＝________. 考点

交并补集的综合问题

题点

有限集合的交并补运算

答案

∅

解析

(∁IM)∩(∁IN)＝∁I(M∪N)＝∁II＝∅. 5．(2017·烟台检测)已知集合U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>4}，B＝{x|－3≤x≤3}，则(∁UA)∩B＝________. 考点

交并补集的综合问题

题点

无限集合的交并补运算

答案

{x|－2≤x≤3}

解析

由图知(∁UA)∩B＝{x|－2≤x≤3}.

1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．

2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．

一、选择题

1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于(

) A．{1,4}

B．{－1，－4} C．{0}

D．∅

考点

交集的概念及运算

题点

有限集合的交集运算

答案

D 解析

因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，

N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N＝∅，

故选D. 2．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(

) A．A＝B

B．A∩B＝∅

C．A⊆B

D．B⊆A

考点

集合的包含关系

题点

集合包含关系的判定

答案

D 解析

A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A. 3．已知全集U＝R，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，则集合A∩(∁UB)等于(

A．{1}

B．{1,2} C．{1,2,3}

D．{0,1,2} 考点

交并补集的综合问题

题点

无限集合的交并补运算

答案

B 解析

∵∁UB＝{x∈R|x<3}，∴A∩(∁UB)＝{1,2}．

4．(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(

) A．A∩B＝xx<3

2

B．A∩B＝∅

C．A∪B＝xx<3

2

D．A∪B＝R

考点

并集、交集的综合运算

题点

并集、交集的综合运算

答案

A 解析

因为B＝{x|3－2x＞0}＝xx＜32

，A＝{x|x＜2}，

)

3x＜，A∪B＝{x|x＜2}．

所以A∩B＝x2

故选A. 5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是(

) A．－1

B．0

C．1

D．1或－1 考点

交集的概念及运算

题点

由交集的运算结果求参数的值

答案

A 解析

由M∩N＝N，得N⊆M. 当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；

当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；

当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．故a＝－1. 6．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁UA)∩B≠∅，则a的取值范围为(

) A．a＞3

B．a≥3

C．a≥7

D．a＞7 考点

交并补集的综合问题

题点

与交并补集运算有关的参数问题

答案

A 解析

因为A＝{x|x＜3或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x＜7}，又(∁UA)∩B≠∅，则a＞3. 7．设集合I＝{1，2，3}，A⊆I，若把满足M∪A＝I的集合M叫做集合A的配集，则A＝{1，2}的配集有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

考点

并集的概念及运算

题点

有限集合的并集运算

答案

D 解析

M可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共4个．

6*∈N*，y∈A，则B中元素个数为(

) 8．若集合A＝{x|0

A．1

B．2

C．3

D．4 考点

元素与集合的关系

题点

集合中元素的个数

答案

D 解析

A＝{1，2，3，4，5，6}，B中元素为A中能整除6的数，∴B＝{1，2，3，6}. 二、填空题

9．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩(∁UB)＝________. 考点

交并补集的综合问题

题点

无限集合的交并补运算

答案

{1,4} 解析

∵∁UB＝{x|x<2或x>3}，

∴A∩(∁UB)＝{1,4}．

10．(2017·江苏)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．

考点

交集的概念及运算

题点

由交集运算结果求参数的值

答案

1 解析

∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，

∴1∈B且2∉B. 若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．

又a2＋3≥3≠1，故a＝1. 11．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是________．

考点

交集的概念及运算

题点

由交集的运算结果求参数的值

1－≤a≤2或a>3

答案

a2

解析

①若A＝∅，则A∩B＝∅，此时2a>a＋3，

即a>3. 2a≥－1，②若A≠∅，如图，由A∩B＝∅，可得a＋3≤5，2a≤a＋3，

1解得－≤a≤2. 21－≤a≤2或a>3. 综上所述，a的取值范围是a2

三、解答题

12．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2

(1)求A∩B，(∁RB)∪A；

(2)已知C＝{x|a

考点

集合各类问题的综合

题点

集合各类问题的综合

解

(1)显然A∩B＝{x|3≤x<6}．

∵B＝{x|2

∴(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．

a≥2，(2)∵C⊆B，如图所示，则有

a＋1≤9，

解得2≤a≤8，∴a的取值范围为{a|2≤a≤8}．

13．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；

(2)当A＝{x∈Z|－2≤x≤5}时，求A的非空真子集的个数；

(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．

考点

集合各类问题的综合

题点

集合各类问题的综合

解

(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，

当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；

2m－1≥m＋1，当B≠∅时，根据题意，可得m＋1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．

(2)当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254. (3)当B＝∅时，由(1)知m<2；

当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，

2m－1≥m＋1，2m－1≥m＋1，可得或解得m>4. 2m－1<－2m＋1>5，

综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}．

四、探究与拓展

14．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为(

)

考点

Venn图表达的集合关系及运用

题点

Venn图表达的集合关系

答案

A 解析

如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.

15．对于集合A，B，我们把集合{a，b|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有：A×B＝{1，3，1，4，2，3，2，4}，B×A＝{3，1，3，2，4，1，4，2}，A×A＝{1，1，1，2，2，1，2，2}，B×B＝{3，3，3，4，4，3，4，4}. 据此，试回答下列问题：

(1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；

(2)已知A×B＝{1，2，2，2}，求集合A，B；

(3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定A×B中有多少个元素．

考点

集合各类问题的综合

题点

集合各类问题的综合

解

(1)C×D＝{a，1，a，2，a，3}. (2)因为A×B＝{1，2，2，2}，

所以A＝{1，2}，B＝{2}. (3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．

若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有m×n个元素．于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B中有12个元素．