习题2.1教案推荐

《指数函数习题课（第一课时）》教学设计

浙师大2003级数学教育硕士

陈

辉

(绍兴市职教中心

312000)

背景功能

本课题是学生学习了指数函数的概念及其有关性质的基础上提出来的，学生学习了指数函数的概念及其有关性质后，完全有条件、有能力去思考本课题，本课题以趣味性问题作引导，以案例、探究为教学的主线，让学生从中感悟数学的思维与方法。把生活中的数学通过概括与抽象，变成数学问题再加以研究，充分说明数学来源于实践。

教学目标

知识目标：进一步掌握指数函数的定义及其性质，并会初步运用性质解题。

能力目标：培养学生观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力。

情感目标：渗透数学思想和文化，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感体验。

教学重点

含指数的函数的定义域，值域；指数函数单调性的应用

教学难点

含参数的定义域的求法。

教学方法

启发、引导、探究、讲解、演练相结合。

教学设计

一、趣题引路

（播放动画）

师：同学们！在动画中你看到了什么？听到了什么声音？

生：闪电！

师：闪电！非常正确！现在我们都知道闪电就是电，你能说出世界上第一个发现“闪电就是电”的人是谁吗？

生：富兰克林！

师：对！美国著名的科学家，避雷针的发明人，本杰明·富兰克林（Franklin·B，1706～1790）。一生为科学和民主革命而工作，他死后留下的财产只有一千美元。令人惊讶的是，他竟留下了一份分配上百万美元财产的遗嘱！这份有趣的遗嘱是这样写的：（投影）

“……一千美元赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千美元，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这钱按每年5％的利率借给一些年轻的手工业者去生息。这款子过了100年增加到131000美元。我希望，那时候用100000美元来建立一所公共建筑物，剩下的31000美元拿去继续生息100年……” 师：作为科学家与政治家的富兰克林，留下区区的1000美元，竟立了富翁般的遗嘱，莫非昏了头脑？！让我们按照富兰克林非凡的设想实际计算一下。请看下表：

第1年时间

第1年末

第2年末

…

第100年末

…

第n年末

始

记号

f(0) f(1) f(2) …

f(100) …

f(n) 遗产数

a0=1000 a0(1+5%) a0(1+5%)2

…

a0(1+5%)100

…

a0(1+5%)n

（英镑）

1

从而得到函数

f(n)= a0(1+5%)n

师：上式是什么函数的特例？

生：是函数y=ax当a=1.05时的特例。

师：在数学上形如y=ax的函数称为什么函数？

生：指数函数！

（板书标题）

师：其中a有哪些约定？

生：为大于0且不等于1的常量！

（通过历史上的有趣故事来做复习铺垫，同时进行数学史教育，凸现人文气息。通过复习，培育和预热“指数函数”概念与性质的最近发展区，激发和点燃学生学习的兴趣和热情）

二、知识回顾

师：通过实例进一步说明了学习指数函数的重要性，趁热打铁，回顾一下指数函数的有关知识点。（多媒体显示知识点，并让学生回答）

师：指数函数的定义是什么？

生1：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数。

师：指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质怎样呢？

生2：

a>1 Y

O X

0

O X (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）函数在 R上是增函数

（4）函数在 R上是减函数

（通过让学生自己填表完成，做到师生互动，充分保障学生的主体地位）

三、架桥铺路

师：刚才两位同学回答得很好！指数函数是我们高中数学中的重要内容之一，它的用途十分广泛，现在让我们再来看上面的问题，观察故事中y=1.05n值的变化，同学们！你能算出当n=100时，y100=？

生：131.501 257 9（用计算器）

师：这意味着，上面的故事中，在头一个100年末富兰克林的财产应当增加到

f(100)=1000×131.501257 9=131501. 2579（美元）

可见富兰克林的遗嘱在科学上是站得住脚的！

师：微薄的资金，合理的利率，在神奇的指数效应下，可以变得令人瞠目结舌。这就是

2

富兰克林出色的遗嘱给人的启示！

师：根据有关资料显示，当时美国政府还有遗产税的政策，政策规定：在当事人死亡后若干年内必须每年缴纳一定数量的遗产税。

并且发现所缴纳的遗产税y与年份n（规定当事人去世那一年n=1）有以下有趣的计算公式：y= a0(1+5%)n·un，（其中a0为遗产，un=

生：需要5年！

师：如何得到的？

生：依据题意只需y>0，即64–2n >0,也就是64>2n，

26>2n，由y=2x在R上增函数得n<6且n∈N*，故需缴纳遗产税5年。

师：上述问题的解决用到了指数函数的有关知识，其实质是在实际背景下求含指数的函数的定义域，解不等式时又用到指数函数的单调性。如果我们将un抽象出来，将n的取值

范围拓展到全体实数，情况有将怎样呢？

请同学们思考以下案例。

四、案例探究

案例

求函数y642x

的定义域与值域。

（模拟科学研究的程式，从数学的实际问题出发，通过观察、总结和抽象，确立研究的对象，使学生认识到数学源于生活实际）

师：要使函数有意义，必须满足什么条件？

生：必须满足64-2x≥0

师：这个不等式如何解？

生：先化为26≥2x，再利用指数函数的单调性得到x≤6！

师：对！

教师边讲边板书过程如下：

解：要使函数有意义，必须64-2x≥0，即x≤6。所以定义域(-∞,6]

师：值域又该如何考虑呢？

生1：值域为[0，+∞）

师：其他同学有没有不同意见？

生2：值域应该为[0.8)！

师：为什么？

生2：∵2x≥0，

∴0≤64-2x<64，故值域为[0.8)

师：完全正确！请坐下！

师：函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合；而值域则是在定义域的制约下的函数值的集合。同学们！一定要注意定义域对值域的制约作用！

变式：求函数y2x64的定义域与值域。

解析：要使函数有意义，必须2x–64≥0,即x≥6。所以定义域为[6,+∞]。

∵2x-64≥0，

∴

值域为[0,+∞],

3 。

642n，n∈N*）

请同学们思考一下，按照上述政策，在当事人死后需缴纳遗产税多少年？

探究一：求函数y1ax

(a>0且a≠1)的定义域与值域

（分小组讨论，借此培养学生间的团结合作精神）

师：在解不等式的时候要注意什么？

生：分类讨论！

师：对！当底数是字母的时候，要进行讨论，那么分哪几种情况呢？

生：分a>1与0

解析：要使函数有意义，必须1ax0；即ax

≤1。

当a>1时x≤0；

当0

x≥0

∴当a>1时定义域为(－∞,0)；当0

∵ax>0 ∴0≤1－ax<1

∴值域为[0,1]

变式：若改成yax1

，其余条件不变，则又该如何？

解析：要使函数式有意义，必须ax－1≥0, 即ax≥a0

当a>1时，由y=ax为增函数得，

x≥0，∴定义域为[0，+∞]；

当0

（探究一是对底数作了改变，逐步推进，从特殊到一般，有效地将难点分解突破）

探究二：求函数f(x)12x22x

的定义域与值域

2

解析：要使函数式有意义，必须

12x2x0即

2x22x1

由y=2x为增函数得x2+2x≤0，∴定义域为[－2,0];

1

师：∵－2≤x≤0, ∴－1≤x2+2x≤0

∴值域为[0,]

2

师：这里求函数值域的方法是从里到外逐步推进，在求值域时要注意定义域对值域的制约作用。

（从幂指数的角度对案例进行逐步推进，从而进一步培养学生探究问题的能力）

探究三：求函数

f(x)aax22x(a0,且1)的定义域。

2

解析：要使函数式有意义，必须aax∴定义域为-1-2，-12

；

2x0

即

ax22xa

当a>1时，由y=ax为增函数得x2+2x≤1，

当0

∴定义域为（-∞,-1–2

]∪[-1+2

,+∞）

（对底数与幂指数同时进行改变，使得问题更具一般性，学生的思维再次得到发散，能力进一步提高）

点击高考：是否存在这样的实数a，使得函数f(x)aax22x为-1-2，-12

。若存在，请求出a的取值范围；若不存在，说明理由。

解析：根据题意有不等式x2+2x－1≤0，即x2+2x≤1, 又根据题意有ax2(a0,且1) 的定义域2xa，故a>1.

（变式训练与探究的设计以一个函数为背景，从底数与幂指数两个方面加以探究，做到

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一题多用、一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展，重在思维训练，多点想，少点算.通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养学生探究问题的能力，提升思维的层次.在解决问题的过程中，激发学生的研究兴趣，培养学生的科学理性精神，体会交流、合作和竞争等现代意识）

师：本节课通过同学们的积极思考、合作、探索和研究，巩固、掌握了有关指数函数的概念与性质，接下来我们一起来做这节课的小结工作.

五、小结（知识、方法、思想）

特殊到一般、分类讨论

三个探究

某些函数的定义域与值域

指数函数性质的应用

两个变式

一个案例

师：今天主要是研究了一个案例，两个变式，三个探究。所有的这些我们都是在解决一个什么问题？

生1：函数的定义域与值域！

师：在具体求解含指数的不等式中我们用到了指数函数的哪些知识？

生2：指数函数的单调性！

师：还用到了哪些数学思想？

生3：分类讨论的思想！

师：当底数a不确定时，我们需要进行分类讨论，对底数分a>1与0

生：特殊到一般！

师：对！很好！

（小结在教师的点拨下，请学生完成，以此培养学生的归纳、总结的能力）

六、作业

1．阅读作业：仔细通读教材，进一步分析图象特征并思考：当底数a变化时，图象有什么变化规律。

x

2．书面作业：(1)求函数y1(12)

的定义域、值域.

(2)已知

ax21

a2x(a0,且1)，试求x的取值范围.

3．研究性作业（课外延伸）：请同学们继续探究我们今天的案例，并分析其定义域与值域.（如函数yaxbx

(a>0且a≠1；b>0且b≠1)的定义域与值域）

(作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，阅读作业中的问题思考是后续课堂的铺垫，而研究性作业不作统一要求，供学有余力的学生课后研究，它也是新课标里研究性学习的一部分) 。

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