小结第二课时教案

函数的概念与应用

【考点精讲】

一、映射

映射的特征

（1）特殊性：映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应.故判断一个对应是否为映射的方法是：首先检验集合A中的每个元素是否在集合B中都有象；然后看集合A中每个元素的象是否唯一。

判断下列关系是否为映射关系？

（2）方向性：映射是有方向性的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的。

【注意】

（1）“对应关系”重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中”；对应关系未必都能用解析式表达。

（2）集合A中的每一个元素都有象，且唯一；集合B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一。

（3）若对应关系为f，则a的象记为f（a）。

二、函数

1. 函数的概念

函数是一种特殊的映射：设A、B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y＝f（x），其中x∈A，y∈B。

2. 函数的定义域和值域

函数的定义域：在函数y＝f（x），xA中，

组成的集合A叫做函数y＝f（x）的定义域。

值域：若A是函数y＝f（x）的定义域，则对于A中的

，都有一个输出值y与之

，则将组成的集合称为函数的值域。

3. 函数的单调性：对于函数定义域内任意两个x1、x2，

当x1x2时，若有f(x1)f(x2)函数是（____，____）上的增函数

当x1x2时，若有f(x1)f(x2)函数是（____，____）上的减函数

应用：若yf(x)是增函数，f(x1)f(x2)x1____x2

应用：若yf(x)是减函数，f(x1)f(x2)x1____x2

4. 函数的奇偶性

定义域关于原点对称，若有f(x)f(x)f(x)是偶函数

定义域关于原点对称，若有f(x)f(x)f(x)是奇函数

5. 有理指数幂

（1）分数指数幂的表示方法

正分数指数幂：a＝mn（万元）10008006004002009697989900(年）（a0,m,nN*,n1）。

正数的负分数指数幂：

amn1anm1man(a0,m,nN*,n1)

（2）有理指数幂的运算性质

arasars(a0,r,sQ)。

(ar)sars(a0,r,sQ)。

(ab)rarbr(a0,b0,rQ)。

6. 对数的性质与运算法则

（1）对数的性质

alogN；logaaN(a0且a1)。

对数的重要公式

NaNxlogb(a,b均大于零且不等于1）a换底公式：loglogb；

xa（2）对数的运算法则

如果a0且a1,M0,N0,那么

MN；

log(aMN)logalogaMN；

loglogalogaMNalogMnanMlogamM；

nloganMloga。

m

7. 函数的零点

（1）定义：对于函数yf(x)(xD)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数的零点。

（2）二分法：如果函数yf(x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数yf(x)在区间（a，b）内有零点，即存在x0(a,b)，使f(x0)0，这个x0也就是方程f(x)0的根。

【典例精析】

例题1

由x4a1x3a2x2a3xa4(x1)4b1(x1)3b2(x1)2b3(x1)b4等式定义映射f(a1,a2,a3,a4)b1b2b3b4，则f(4,3,2,1)（

）

A. 10

B. 7

C. －1

D. 0 思路导航：仔细读题，根据已掌握的映射的定义找出对应关系，再根据对应关系解题。

答案：由定义可知

x44x33x22x1(x1)4b1(x1)3b2(x1)2b3(x1)b4，

令x0得，1b1b2b3b41，

所以b1b2b3b40，即f(4,3,2,1)0，选D。

例题2

定义在R上的函数（fx）满足（fx）＝g1o(l,)2,0xx1(,)2f,x0xf(x)则f（2013）的值为________。

思路导航：求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值。若给出函数值求自变量值，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围。

答案：0

例题3

（陕西卷文科高考）设f(x)______。

思路导航：f(f(2))f(102)f(11)lg2

100100lgx,x0

则f(f(2))＝x10,x0答案：－2

例题4

函数f(x)x2lnx在定义域内零点的个数为（

）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

思路导航：先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1x2，y2lnx(x0)的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数。

答案：解：由题意，函数f(x)的定义域为（0，+∞）；

由函数零点的定义，f(x)在（0，+∞）内的零点即是方程x2lnx0的根。

令y1x2，y2lnx(x0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：

由图得，两个函数图象有两个交点，

故方程有两个根，即对应函数有两个零点。

故选C。

随堂练习：若函数yf(x)的值域是（1，3），则函数F(x)12f(x3)的值域是（

）

A （-4,2）

B. （-7,11）

C. （-5,-1）

D. （1,5）

思路导航：由函数f(x)的值域与f(x3)相同，代入函数F(x)中，容易求得F(x)的值域。

答案：∵1

∴－6<－2f(x3)<－2，

∴－5<1－2f(x3)<－1，

即F(x)的值域为（－5，－1）。

故答案为：（－5，－1）

【总结提升】

1. 指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键。

2. 指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积。

nn3. 注意对数恒等式、对数换底公式及等式logab＝m·logab，logabm

1＝loga在解题中的灵活应用。

b4. 可以利用数形结合法求函数的零点：

函数yf(x)的零点是图象与x轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象交点情况，对函数的零点作出判断。

例题

若函数f(x)范围是（

）

A. (,)

33D. [0,)

44错解：f(x)的定义域为R，对任意xR，分母mx24mx30恒x4的定义域为R，则实数m的取值2mx4mx334B. (0,)

C. (,) 成立。

即二次方程mx24mx30无实根，

16m243m0，解得0m3，故选B。

4分析：上述解法漏掉了m0这种特殊情况，当m0时，同样可以满足分母mx24mx30。

正解：分类求解，当m0时，二次方程mx24mx30无实根。由16m212m0，得0m。

34当m0时，分母mx24mx30，满足条件。

3因此0m。故选D。

4