习题2.2名师教学设计2

1学习目标

1.理解幂函数的概念.2.掌握y＝xα(α＝－1，，1,2,3)的图象与性质.3.理解和掌握2幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.

知识点一

幂函数的概念

1思考

y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？

x

梳理

一般地，

叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 知识点二

五个幂函数的图象与性质

1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝x2；(4)y＝x1；(5)y＝x3的图象如－12图.

2.五个幂函数的性质

定义域

值域

奇偶性

y＝x R

R

y＝x2

R

y＝x3

R

R

y＝x

[0，＋∞)

12y＝x1

－

单调性

增

在[0，＋∞) 上

，

在(－∞，0] 上

在(0，＋∞) 上

，

在(－∞，0) 上

知识点三

一般幂函数的图象特征

思考

类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质.

梳理

一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点

；

(2)α>0时，幂函数的图象通过

，并且在区间[0，＋∞)上是

函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象

；当0<α<1时，幂函数的图象

；

(3)

时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；

(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；

(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从

到

的顺序排列.

类型一

幂函数的概念

例1

已知y＝(m2＋2m－2)x

反思与感悟

幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为x41，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝2都不是幂函数. 1跟踪训练1

在函数y＝2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(

) xA.0

B.1

C.2

D.3

m22＋2n－3是幂函数，求m，n的值.

类型二

幂函数的图象及应用

1例2

若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何4值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

引申探究

fx，fx≤gx，若对于例2中的f(x)，g(x)，定义h(x)＝试画出h(x)的图象. gx，fx>gx，

反思与感悟

注意本题中对f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法. 跟踪训练2

幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于(

) A.1

C.3

类型三

幂函数性质的综合应用

命题角度1

比较大小

B.2 D.无法确定

例3

设a＝A.a>b>c

C.b>c>a

222，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(

) 335B.b>a>c

D.c>b>a

231323反思与感悟

此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量. 跟踪训练3

比较下列各组数中两个数的大小：

20.310.3(1)5与3；

23－－1与－－1；

(2)3520.35(3)5与0.3.

命题角度2

幂函数性质的综合应用

例4

已知幂函数y＝x3m9

(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足－2

a1

m3<32am3的a的取值范围. 反思与感悟

幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值. 1跟踪训练4

已知幂函数f(x)＝xm2m(m∈N*). (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数还经过(2，2)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围.

121.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，，则k＋α等于(

) 2213A.

B.1

C.

D.2 222.已知幂函数f(x)的图象经过点(2，A.16

C.2

2)，则f(4)的值等于(

) 21B.

161D.

2

13.设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为(

) 2A.1,3

C.－1,3

4.下列是y＝x的图象的是(

) 23B.－1,1 D.－1,1,3

5.以下结论正确的是(

) A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点

C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大

D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限

1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸. 13.在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据2需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.

答案精析

问题导学

知识点一

思考

底数为x，指数为常数．

梳理

函数y＝xα

知识点二

2．R

R

R

[0，＋∞)

{x|x≠0}

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y≠0}

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

增

减

增

增

减

减

知识点三

思考

y＝x3与y＝x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同．只不过当01时，x5＝x3·x2>x3，结合两函数性质，可得图象如下：

梳理

(1)(1,1)

(2)原点

增

下凸

上凸

(3)α<0

(5)小

大

题型探究

2m＋2m－2＝1，例1

解

由题意得

2n－3＝0，

m＝－3，m＝1，解得3或3

n＝n＝.223所以m＝－3或1，n＝. 21－跟踪训练1

B

[因为y＝2＝x2，

x所以是幂函数；

y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；

y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y＝1不是幂函数．] 例2

解

设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，所以，将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x2. －

在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：

(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；

(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；

(3)当－1

引申探究

解

h(x)的图象如图所示：

跟踪训练2

A

[由条件知，

M(12213，3)、N(3，3)，

∴13＝(23)α，213＝(3)β，

∴(1)αβ＝[(1)β2133]α＝(3)α＝3，

∴αβ＝1.故选A.] 21例3

B

[∵y＝223x在R上为减函数，∴23233<3，即a

22∴33223>5，即a>c.∴b>a>c.故选B.] 跟踪训练3

解

(1)∵0<0.3<1，

∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数. 又25>13，∴250.3>130.3. (2)∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，

又－233<－5. ∴－23－1>－35－1. (3)∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，

∞)

20.320.3∴由>0.3，可得>0.3.①

55又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，

∴0.3>0.3.②

20.350.3由①②知>. 5例4

解

因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，

解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2. 因为函数的图象关于y轴对称，

所以3m－9为偶数，故m＝1. 则原不等式可化为a1因为y＝x1320.3251332a. 13在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，

所以a＋1>3－2a>0或3－2a

解

(1)∵m∈N*，

∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数. 令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝2kx，

∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数. (2)∵2＝2＝2m∴m2＋m＝2，

解得m＝1或m＝－2(舍去)，

∴f(x)＝x，

由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数. ∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，

3解得1≤a<. 2当堂训练

1．C

[由幂函数的定义知k＝1. 121α＝2，

又f ＝，所以2222121212m，

13解得α＝，从而k＋α＝.] 222．D

3.A

4.B

5.D