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阳城一中导学案

备课日期:2017 年 10 月 15日 授课日期： 2017年10 月 16日

课题

函数的单调性与最值(二) 导学

目标

理解函数的单调性，最大值.最小值及其几何意思。

重点

难点

理解函数的单调性，最大值.最小值及其几何意思。

❶

增函数与减函数

❷

单调性与单调区间

预习

问题

❸

函数的最大值与最小值

❹

函数单调性的两个等价结论

❺

对勾函数的单调性

思考辨析

导入

设计

1(1)函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)。( ) x(2)函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为[a，b]。( ) (3)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)·g(x)也是增函数。( ) (4)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数。(

) x2－x【例3】(1)函数y＝2的最小值为________。

x－x＋1(2)函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________。

展示

点拨

1x，x≥1，(3)函数f(x)＝的最大值为______。

－x2＋2，x＜1x2－x1解析：(1)y＝2＝1－2。

x－x＋1x－x＋113x－2＋，

因为x2－x＋1＝24

阳城一中导学案

111所以－≤1－2＜1，即－≤y＜1。

33x－x＋11故函数的最小值为－。

31111t－2＋，结合图象，当t＝，即x＝时，(2)令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＝－24241ymax＝。

41(3)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1； x探究

问题

当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2，故函数f(x)的最大值为2。

求函数最值的常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值。

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值。

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值。

x2＋8【练3】函数f(x)＝(x＞1)的最小值为________。

x－1

x2＋8x－12＋2x－1＋99解析：方法一：(基本不等式法)

f(x)＝＝＝(x－1)＋＋x－1x－1x－19x－1·＋2＝8，

x－19当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(x)min＝8。

x－1x－4x＋2方法二：(导数法)

f′(x)＝，

x－12令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)。

当1＜x＜4时，f′(x)＜0，

f(x)在(1,4)上递减；

当x＞4时，f′(x)＞0，f(x)在(4，＋∞)上递增，

所以f(x)在x＝4处取到最小值，

即f(x)min＝f(4)＝8。

≥2教师

引导

2

解疑

阳城一中导学案

求函数单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间。

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求单调区间。

(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观训练

性写出它的单调区间。

(4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间。

纠错

提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。

函数单调性常用结论

区间D上单调递增

x1< x 2⇔f(x1)

函数图象上升的

导数大于零

递增＋递增

内外层单调性相同

区间D上单调递减

x1< x 2⇔f(x1)>f(x2) 函数图象下降的

导数小于零

递减＋递减

内外层单调性相反

归纳

总结

定义法

图象法

导数法

运算法

复合法

求函数最值的常用方法

板书

设计

(1)单调性法

(2)图象法

(3)基本不等式法

课后

反思