3.1.2 指数函数教学实录及点评

序号：02

课题：3.1.2指数函数

教材：苏教版高中数学·必修1

【教学内容解析】

本节课是苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修1中第三章第1.2节第1课时的内容，其主要内容是指数函数的概念、图象及其性质，属于概念性知识. 函数的思想贯穿于整个高中数学之中，指数函数是继研究了函数的概念和性质之后在高中阶段研究的第一个基本初等函数.对指数函数及图象与性质的研究，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，初步培养学生的函数应用意识，也为今后学习对数函数、幂函数和三角函数等基本初等函数奠定了基础，起到承上启下的作用，同时，指数函数在实际生活及生产中有着广泛的应用，是非常重要的初等函数模型. 【教学目标设置】

1.

理解指数函数的概念、图象和性质，通过指数函数的研究，体会研究一个函数的基本方法；

2.

通过观察、分析、讨论、归纳指数函数的概念和性质，体会从特殊到一般的认知规律和数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力. 3.

在探究活动中，通过独立思考与合作交流，发展思维，养成良好的思维习惯，提升自主学习能力. 【学生学情分析】

本节课的授课对象是高一学生，从知识结构上，在初中，学生研究过一次函数、二次函数、反比例函数等具体的函数，能借助列表、描点的方法作图，通过观察图象，获得对函数基本性质的直观认识；到高中，学生学习了函数的概念及函数的简单性质，并知道了研究函数性质的一般方法；在前一节内容，学生完成了指数取值范围的扩充，具备了进行指数运算的能力，这些都为为本节课的学习奠定了基础.从能力水平上，学生已经具备一定的观察、分析、抽象、概括能力.但1

是对学生来说，指数函数是一个全新的函数模型，学生思维的全面性、深刻性，以及数形结合的思想有待进一步培养和加强. 【教学重点难点】

教学重点：指数函数的概念和性质. 教学难点：指数函数概念的建立和性质的探究. 【教学策略分析】

1.

通过创设问题情景，充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理，顺利引入课题；

2.

通过设置问题串，以问促思，引导学生自主探究，合作交流，让学生经历从特殊到一般的抽象概括指数函数模型、建立指数函数概念的过程，培养学生积极主动、勇于探索的学习方式；

3.

在教学过程中借助几何画板动态演示，化解教学难点，提高课堂效率，并让学生体会从形的方面，函数图象是理解和研究函数的直观工具，从数的方面，函数解析式也是研究函数的有力工具，渗透数形结合的数学思想.

教学工具：投影仪，几何画板.

教学方法：探究式教学. 【教学过程设计】

一、创设情境，引入新课

情景1.（1）如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？

学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重。

（2）如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……按这样的规律，51号同学该准备多少米？

学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学需准备251粒大米，约重1.2亿吨，1.2亿吨是一个什么概念？几乎相当于2017～2018年度我国全年的大米产量！

2

在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？

y2xxN*和y2xxN*

你认识这两个关系式吗？它们有什么区别呢？

情景2.《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半万世不竭”. 1截取x次后，木棰的剩留量y是多少？y

2【设计意图】具体的生活实例引入，了解指数函数模型的实际背景，让同学们体会数学来源于生活，在这个过程中培养学生用数学化的观点理解现实问题的能力.同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望. 二、师生互动，探究新知

x1问题1：y2和y这两个关系能构成函数吗？

2xx对每一个x，都有唯一的y与之对应，能构成函数

设问1：这两个函数解析式有什么共同特征，你能概括出此类函数的一般形式吗？

均为幂的形式，底数是常数，指数是自变量

学生归纳概括得出一般的模型：yax

教师总结：在yax这个关系式中，x是自变量，y是因变量，底数a是个常数.为使这个函数适用范围更广,自变量x可以取全体实数. 类比一次函数（ykxb,k0）、反比例函数（yk,k0）、二次函数x（yax2bxc,a0）中的限制条件，

思考指数函数中底数的限制条件

设问2: 函数yax中对底数a的取值有什么要求吗？为什么？

学生独立思考，讨论探究当a0，a0，a1时会有什么情况？

对于底数的分类，可将问题分解为：

（1）若a0，则ax对某些x值失去意义，如a2，x3

1则在实数范围内2

相应的函数值不存在；

（2）若

a0，对于x0

，ax都无意义；对于x0，ax0恒成立；

（3）若

a1，无论

x取何值,ax1,没有研究的必要. 为了避免上述各种情况的发生,所以规定：

a0且

a1. 由于该函数的自变量在指数的位置，这种函数我们称为指数函数. 总结指数函数概念：

一般地，函数yaxa0,a1叫做指数函数，它的定义域是R. 请每位同学写出两个指数函数，教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y23x，y3x. 【设计意图】通过学生观察思考、讨论探究总结得出新知，加深对指数函数概的理解.对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值,也为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔.通过让学生写两个指数函数，加深学生对指数函数形式的理解. 问题2: 对于这个新的函数你还想了解什么？怎样了解？

函数图象和性质

研究函数的一般思路是：函数的概念——图象——性质——性质运用

设问1：我们研究过函数的哪些性质？

定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）、一些关键点和关键线

设问2：怎样研究指数函数的性质呢？

图象研究较直观，但有的性质用图象观察不够严密，且不易获得，还需要通过解析式研究. 【设计意图】

让学生体会研究函数的一般思路，为后续研究对数函数、幂函数、三角函数提供经验和方法.通过设问引导学生从图象和解析式不同的角度对函数进行研究，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过解析式的论证,渗透数形结合的数学思想. 1学生用描点法画出指数函数y2和y的图象

2xx教师用几何画板展示这两个函数图象

4

为了便于学生归纳出一般情况，通过几何画板在同一坐标系下再画出

11y3x，y，y5x，y的图象

35问题3：指数函数yaxa0,a1的图象有哪些特征？你能归纳出指数函数的性质吗？

学生分组讨论，通过图象能直观的得到指数函数的单调性，奇偶性，经过定点0,1，但值域不易获取，可以通过解析式得到值域，学生回答后教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪yax的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律. 总结指数函数的图象和性质,并完成表格

图

象

0a1

xx

a1R

定义域 值

域

性

质

0,

过定点0,1

非奇非偶

在R上是减函数

在R上是增函数

【设计意图】通过具体函数图象和性质归纳出一般情况，渗透数形结合，由特殊到一般的数学思想；通过学生自主探究、分组讨论，让学生学会学习，加深学生对所得到的结论的理解，提高学生抽象概括的能力.

设问1：你还能得到其他性质吗？

1

y2x与y的图象关于y轴对称

25

x

设问2：怎样证明这个结论？能否推广到一般情况？

1 yax与yaxa0,a1的图象关于y轴对称

yfx与yfx的图象关于y轴对称

【设计意图】研究指数函数性质后，继续研究两个特殊指数函数图象关于y轴对称的关系，引导学生从解析式角度证明这个对称性，使其从现象看到这个问题的本质，并且推广到一般指数函数中，最后再推广到两个一般抽象函数的对称性.学生从中进一步体会了数形结合思想. 三、应用知识，深化理解

例. 比较下列各组数中两个值的大小

（1）1.52.5，1.53.2；（2）0.51.2，0.51.5；（3）0.52，0.253

（3）1.50.3，0.81.2；（4）a0.3，a0.5a0,a1

方法总结：（1）当底数相同且明确与1的大小时，利用指数函数单调性比较；

（2）当底数不同时，化为同底或利用中间量（如0,1等）比较；

（3）当底数相同且不确定与1的大小时，需分情况讨论.

【设计意图】例题是指数函数单调性的应用，通过例题，让学生进一步加深对指数函数性质的理解，并体会用性质解决实际问题的过程. 四、总结提升，形成体系

1.

指数函数的概念是什么？它有哪些性质？

2.

我们是怎样研究指数函数的？在研究的过程中用到了哪些数学思想？

由特殊到一般、数形结合、类比

3.

今后，对于一个新的函数，我们可以按照怎样的思路研究？

函数的概念——图象——性质——性质运用

【设计意图】通过小结，巩固所学内容，提炼出在知识形成过程中所体现的数学思想方法.让学生体会本课的研究方法,并能将其迁移到其他函数的研究中去，为以后学习其他函数奠定基础. 五、布置作业，巩固新知

必做题：课本第67页

练习1,2,3,4,5,6 6

选做题：习题3.1（2）第14,15题

【设计意图】巩固知识，反馈信息，同时注意个体差异，因材施教，必做题指数函数性质的简单应用.选做题既是对本节课的提升训练，也为下节课做好铺垫. 【教学设计评价】

本节课是指数函数及其性质概念课，在教学设计时，注重了新旧知识的契合，通过研究指数函数的性质，让学生体会到函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”. 教学中借助信息技术可以弥补在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率.在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要.

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