3.4.2 函数模型及其应用板书设计及设计说明

高三一轮复习《函数模型与应用》教学设计

在近几年的江苏高考中必有一道解答题是应用题，一般出现在十七或十八题的位置，试题难度属于中等偏难。纵观历年应用题的考察范围主要有函数类应用题，三角函数类应用题，与几何相关的应用题等。本节课主要通过三个例题讲解了高考中函数类应用题的几种类型，分别是利用导数求解问题的，利用不等式求解的，利用分段函数求解的。

一、教学目标

1.

了解函数模型（如指数函数，对数函数，幂函数，分段函数等在生活中普遍使用的模型）的广泛应用。

2.

利用函数性质（或导数）解决实际问题中的最值问题。

二、重点、难点

重点：了解函数模型（如指数函数，对数函数，幂函数，分段函数等在生活中普遍使用的模型）的广泛应用。

难点：利用函数性质（或导数）解决实际问题中的最值问题。

三、教学过程

环节一：了解应用题求解的一般步骤：

1.

读题。主要是翻译成数学语言，找出或设出涉及的量（变量或常量），找出主要关系。

2.

建模。建立不等式模型或函数模型。

3.

求解。化为常规问题，选择合适的数学方法求解。

4.

评价。把结果还原为实际问题，对结果进行验证或评估。

环节二：课堂实例展示：

题型一

利用导数解决的函数模型

例1中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一,给人以美的享受.下图为一花窗中的一部分,呈长方形,长30 cm,宽26 cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm,窗芯所需条形木料的长度之和为L cm. （1）试用x,y表示L; 2(2)如果要求六根支条的长度均不小于2 cm,每个菱形的面积为130 cm,那么

做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其他损耗)?

【核心归纳】利用导数解决函数模型中的最值问题是常考题型,是在通过审题确定目标函数和定义域后借助导数与函数的单调性、极值与最值的关系求解最值,有时函数的定义域不能通过观察法求得,要根据条件建立不等式组求得,定义域是函数模型中优先考虑的问题.

题型二

利用不等式解决的函数模型

例2 园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r米,圆心角为θ(弧度)的扇形观景水池,其中O为扇形AOB的圆心,同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元,水池造价为每平米400元,步道造价为每米1 000元. (1)当r和θ分别为多少时,可使得广场面积最大,并求出最大面积;

(2)若要求步道长105米,则可设计出的水池的最大面积是多少?

【核心归纳】

不等式是解决函数模型中最值问题的常用工具,根据目标函数的结构选择解不等式或用基本不等式求解,利用基本不等式求解最值问题时要注意对基本不等式成立条件的逐一验证.

题型三

分段函数模型

例3

几名大学毕业生合作开设3D打印店,生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元,该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其他固定支出20 000元.假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系:①当34≤x≤60时,t(x)=-a(x+5) 2+10 050;②当60≤x≤70时,t(x)=-100x+7 600.设该店月利润为M(元),月利润=月销售总额-月总成本. (1)求月利润M关于销售价格x的函数关系式; (2)求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格.

【核心归纳】分段函数模型是函数应用题中常见的模型,由条件合理分段是关键,一般情况下,在x的不同取值范围内函数有不同的解析式,求解分段函数的最值问题时,可先求每一段函数的最值,再比较得最大值和最小值.

环节三：课堂小结: