3.4.1 函数与方程优秀教案说课稿

函数的零点

无锡市第一中学

倪乾峰

一、教学内容：(苏教版必修一)§2.5.1 函数的零点

二、教学目标：

1、知识和技能

通过本节的学习，学会结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的关系。

2、过程与方法

从具体的一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与X轴交点横坐标之间的关系到一般的求方程的根与零点的求法，揭示方程的根与对应的函数的零点之间的关系。

3、情感态度价值观

体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成函数观点处理问题的意识。

三、教学过程：

(一)、问题提出

情景引入: 跳水皇后郭晶晶入水前瞬间的图片及其入水后的瞬间(ppt) (感受穿过水面时的瞬间)

1.

求关于x的方程x2x30的实根.(ppt) 2.

求关于x的方程xx10的实根.(ppt) T: 会求吗?(提问S) 那我们就试着寻找求方程实根的其他途经?回到刚才的二次方程(ppt), 3或-1这两个实根还可以用其他的方式来解释吗?(提问S) 根据图像二次方程的实根与该函数的图像之间的关系(提问S)(ppt)

(引出函数零点的定义) (二)、新授

一般地,我们使函数yf(x)值为0的实数x称为函数yf(x)的零点。(ppt) T: 根据函数零点的定义,如何来求函数的零点呢?(提问S)(ppt) 这两种求法体现出数学的重要思想方法---数形结合

T: 对于二次函数的零点问题,我们先来复习巩固一下(ppt) 322第1页

∆=b2-4ac

∆>0 ∆=0 ∆<0 ax2bxc0

(a>0) f(x) = x2-x-1bb24ac

x1,2=2a

yx1=x2=-f(x) = (x-3)2+2b

2a方程无实数根

yyyax2bxc

(a>0) x10x2x

0x1=x2x0x (三)、例题

例1、填空：

函数f(x)x2x1的零点为12,12(ppt)

解：∵x2-2x-1=0 ∴x12or12(不板书)

T: 有时候对于二次方程我们并不关心它的实根是什么?而只需要探究实根的个数,那么

我们不求根来证(ppt) 例2、求证：函数f(x)x2x1由两个不同的零点. (提问s)证法：∵△=42-4×(-1)=20﹥0 ∴方程x2x10有两个不相等的实数根(板书)

T:这是从代数的角度来证明的,能否再从图象的角度来解释呢? (提问s)

图像与x轴有两个不同的交点(ppt),也就是说图像上有且仅有两个点在x轴上,那么

图像上的其他点与x轴的位置关系呢?(提问S)

既然有的在x轴上方有的在x轴下方,能不能说明有点在x轴上了? 也就是说在x轴上方和下方都有图像.必与x轴相交了. 那么我们就可以从图像的角度来解释了?(ppt) 下面我们再从数的角度来解释这段话,在x轴下方有图像(提问S),在x轴上方有图像

先看左支(提问S),再看右支(提问S). 回过来看一下我们的解法,我们惊奇的发现了一种不用判别式,以及求根公式就可以第2页

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判断二次函数在区间上有零点的方法.好我们再找一个二次项系数为负的二次函数来验证刚才的解法(ppt),然后请同学们自己总结(提问S) 例3:函数f(x)x22x1在(1,1)和(1,3)上是否有零点?

(根据学生给出的区间加以调整) 板书:f(1)f(1)0,f(1)f(3)0,即在给定区间上都有零点. 结论: 若一元二次函数yf(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)0,则yf(x)在(a,b)上有零点.(提问S)将这个结论中的二次函数推广到一般的函数结论还成立吗?(ppt)

若定义在区间[1,1]函数yf(x)上满足f(1)f(1)0,则下面函数图象中在(1,1)上有零点是A,D

1

y

y

0.51yA01x101xyB1011x

0xDC函数零点存在性的判定:一般地,若函数yf(x)在区间[a,b]上地图像是不间断的曲线,且f(a)f(b)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上有零点. 思考: 零点唯一吗?反之成立吗?试举例说明.(提问S)ppt

(问题解决) 判断方程xx10在(2,1)上是否有的实根.(ppt)(提问S) 解:设f(x)xx1,f(2)f(1)0.即在区间上有实根. 第3页

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T: 判断方程x3x210在(1.5,1)上是否有的实根.? (ppt) 实根到底是多少呢?我们将在下一节课要解决这个问题. (五)小结：

(1) 函数yf(x)的零点方程f(x)0的实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点的横坐标。

(2)

函数零点存在性的判定:一般地,若函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是不间断的曲线,且f(a)f(b)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上有零点. 备用1: 已知关于x的方程x2xm0的两实根α,β,满足2＜α＜-1＜β＜1,求实数m的取值范围。

解：令f(x)x22xm. ∵21∴f(-2)f(-1)＜0，即m(m1)0.即0m1

又∵-1＜β＜1 ∴f(-1)f(1)＜0,即(m1)(m3)0,即3m1

综上所述实数m的取值范围为(0,1)。

备用探究.：判断并证明方程2xx分析：令f(x)2，g(x)x2x40根的个数？

34作出在同一坐标系中的图像

3发现有两个不同的交点。

解：令f(x)2x∵f(-1)f(0)=x4

311×(-)＜0

63∴f(x)的一个零点在（-1，0）内。

同理另一个零点在（1，2）内，

即原方程有两个根，在(-1，0)和(1，2)内。

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