6.2 一次函数教学活动设计方案

6.2 一次函数（1）

教学目标

1．能用适当的表示法刻画实际问题中的函数关系；

2．能结合具体情景理解一次函数和正比例函数的意义；

3．通过探索和讨论，体验函数是处理和解决实际问题的有力工具．

教学重点

教学难点

理解一次函数和正比例函数的意义．

一次函数、正比例函数的概念及关系．

学生活动

口答：

一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x与y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．其中，x是自变量．

通常，表示函数关系可用三种方法：表格、图像和函数表达式．

（1）因为对于变量

x

（min）的每一个值，变量

y （L）都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数．

（3）y与x之间的函数关系为y＝25x＋6．

这些表示y的代数式都是关于x的一次的形式．

教学过程（教师）

问题的引入

同学们，上节课，我们学习了函数，你能说说什么是函数吗？函数通常有哪几种表示方法吗？

设计思路

利用传统的引入方式回顾旧知识做好前后有效的衔接．

探索概念

情景一

给汽车加油的加油枪流量为25L/min．如果加油前油箱里没有油，那么在加油过程中，用y（L）表示油箱中的油量，x（min）表示加油时间．

（1）y是x的函数吗？说说你的理由．

（2）y与x之间有怎样的函数表达式？

（3）如果加油前油箱里有6L油，y与x之间有怎样的函数表达式？

由上面的情境，我们得到了两个函数关系，前面s我们也得到一些函数关系式，如：Q＝40－

、

10y＝100t、g＝h－105这些函数关系式有什么共同特点？

一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系，可以表示为y＝kx＋b

（k、b为常数，且k≠0）的形式．那么称y是x的一次函数（linear function）．

特别地，当b＝0时，y叫做x的正比例函数．所以正比例函数是特殊的一次函数．

在上面我们所讨论的一次函数y＝25x＋6、y＝s25x、Q＝40－

、y＝100t、g＝h－105哪些是正比10例函数，哪些不是正比例函数；

同桌之间互写三个一次函数的表达式，并指出其中的k、b．

用问题情景的分析得出一次函数的概念，并由特殊情况使得一次函数与正比例函数得到沟通，让学生感受正比例函数是一次函数的特习研究带来方便．让学生自己写一次函

合作完成．

数的表达式，并指出其中的k、b，通过这种形式加深学生对于概念的理解．

（2）y与x之间的函数关系为y＝25x．

整式，都具有y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）例，为后续内容的学

内化新知

用函数表达式表示下列变化过程中两个变量之间的关系，并指出其中的一次函数、正比例函数．

（1）正方形面积S随边长x变化而变化；

（2）正方形周长l随边长x变化而变化；

（3）长方形的长为常量a时，面积S随宽x变化而变化；

（4）高速列车以

300 km/h的速度驶离A站，列车行驶路程y （km）随行驶时间t （h）变化而变化；

（5）如图，A、B两地相距200

km，一列火车从B地出发以120

km/h的速度驶向C站，火车离A地的路程y

（km）

随行驶时间t （h）变化而变化．

总结

通过上面的例子，我们发现，判断一个函数是否为一次函数，实际上，只要去看它的函数表达式是否具备y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的形式；

判断一个函数是否为正比例函数，实际上，只要去看它的函数表达式是否具备y＝kx（k为常数，且k≠0）的形式．

巩固应用

1．水池中有水465m3，每小时排水15m3，排水

t h后，水池中还有水

y m3．试写出

y 与

t 之间的函数表达式，并判断

y 是否为

t 的一次函数，是否为

t 的正比例函数．

2．一个长方形的长为15cm，宽为10cm．如果将长方形的长减少xcm，宽不变，那么长方形的面积y（cm2）与x（cm）之间有怎样的函数表达式？判断

y 是否为x的一次函数，是否为x 的正比例函数．

解：（1）y与x之间的函数关系式

为：y＝x2，因为含x项的次数为2，所

以y不是x的一次函数；

（2）l与x之间的函数关系式为：l＝4x，所以l是x的一次函数，也是正把概念性的比例函数；

学习置于具体的（3）S与x之间的函数关系式为：函数表达式中来S＝ax，因为a≠0，所以S是x的一次体会通过例题由函数，也是正比例函数；

浅入深地推进，让（4）这列火车离开A站的路程y 学生对两个函数（km）与行驶时间x （h）之间的函数得到更进一步的关系式为：y＝300x，所以y是x的一认识，并给学生渗次函数，也是正比例函数；

透方程思想．

（5）这列火车离开A地的路程y （km）与行驶时间x （h）之间的函数关系式为：y＝120x＋200，所以y是x的一次函数，但不是正比例函数．

y＝－15t＋465（0≤t≤31），y是t的一次函数，但不是正比例函数．

y＝10（15－x）＝150－10x，y是x的一次函数，但不是正比例函数．

把课后的两个练习的顺序和题目都稍做了些改动，目的是能更好的突出本节课的重点和难点，考查学生的掌握请况．

总结

（1）通过本节课的学习：

①对自己说，你有哪些收获？

②对同学说，你有哪些温馨提示？

③对老师说，你有哪些困惑？

（2）

让我们一起回顾一下今天我们这节课的内容．

我们发现在实际生活中，存在着大量的函数关系，其中，有一类特殊的函数，它们具有y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的形式；今天我们就研究了这类函数——一次函数，特别的当b＝0时，y＝kx，y叫做x的正比例函数．所以正比例函数是特殊的一次函数．

小结不仅可以尝试对知识方法进行归纳、提炼、帮助学生梳理知总结，形成理性的认识，

内化数学的识、理清脉络，而方法和经验．

且还能够起到提升认识、内化认知结构的作用．老师、同学、自己三方融为一体进行知识梳理、答疑、解惑，很好的发挥了学生的主观能动性，有利于培养学生的反思能力、问题意识，但作为一个初学者，由于学生对新概念缺乏较全面、系统、深刻的认识和把握，所以小结不宜完全脱离教师的引导和归纳．

预习新课．

感受数学在生活中的应用，增强应用数学的意识．

课后作业

本节课我们认识了一次函数，针对不同的情境如何求出一次函数的表达式呢？