实习作业课堂实录【2】

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性

考纲解读

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题. 2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质. 命题趋势研究

有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值域）、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查. 知识点精讲

函数奇偶性

定义

设yf(x),xD(D为关于原点对称的区间），如果对于任意的xD，都有f(x)f(x)，则称函数yf(x)为偶函数；如果对于任意的xD，都有f(x)f(x)，则称函数yf(x)为奇函数. 性质

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数f(x)是偶函数函数f(x)的图象关于y轴对称；

函数f(x)是奇函数函数f(x)的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数yf(x)在x0处有意义，则有f(0)0；

偶函数yf(x)必满足f(x)f(|x|). (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g(x)11[f(x)f(x)]，h(x)[f(x)f(x)]，则f(x)g(x)h(x). 22(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x). 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；

奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶. （7）复合函数yf[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

函数的单调性

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间MD，若对于任意的x1,x2M，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)），则称函数f(x)在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数f(x)的一个增（减）区间. 注：定义域中的x1,x2M具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的x1,x2M”.

单调性是针对定义域内的某个区间讨论的. 熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：

设x1,x2M[a,b]且x1x2，则f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数过x1x2单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零(x1x2)[f(x1)f(x2)]0. f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数过单调递减函数图象上任意不同两点的x1x2割线的斜率恒小于零(x1x2)[f(x1)f(x2)]0. 性质

对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减. 一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若f(x)为增函数，则111为减函数是不正为减函数”也是错误的.如f(x)x(xR,x0)，则yf(x)f(x)x确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立: 若f(x)为增函数，且f(x)0(或f(x)0），则1为减函数. f(x)1为增函数. f(x)若f(x)为减函数，且f(x)0(或f(x)0），则复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.

函数的的对称性与周期性的关系

（1）若函数yf(x)有两条对称轴xa,xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，且

题型归纳及思路提示

题型16

函数的奇偶性

思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：

（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若f(x)f(x)，则函数f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则函数f(x)为偶函数. （2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数f(x)的图像关于原点中心对称，则f(x)为奇函数；若函数f(x)的图像关于y轴对称，则f(x)为偶函数. 【例2.25】判断下列函数的奇偶性. 36x2（1）f(x)；

|x3|3（2）f(x)1x2x21；

（3）f(x)log2(xx21)；

log2(1x2)（4）f(x)；

|x2|2x2x(x0)（5）f(x)2. xx(x0)

36x206x636x2解析

（1）由f(x)可知，故函数f(x)的x0且x6|x3|3|x3|30定义域为{x|6x0或0x6}，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数. 1x20(2)由2x21x1，故函数f(x)的定义域为{1,1}，关于原点对称，故x10f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)因为对任意实数x，都有xx21x|x|0，故定义域为R.且f(x)log2(x21x)log2(为奇函数. 1x21x）log2(x21x)f(x)，故f(x)1x20(4)由1x0或0x1，定义域关于原点对称. |x2|20

log2(1x2)log2(1x2)此时，f(x)，故有f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数. |x2|2x(5)当x0时，x0,f(x)x2xf(x)；当x0时，x0,f(x)x2xf(x).故f(x)为奇函数.

评注

利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：

①首先必须判断f(x)的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意x说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足. ②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数. ③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则f(x)f(x)l22o(xg1x)l22o(xg1x)l2o1g0，即f(x)f(x)，故f(x)为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.

变式1：判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)(x1)1x；

1x；

（2）f(x)3|x3|4x2x2(x1)（3）f(x)0(1x1)；

x2(x1)（4）f(x)|x2||x2|.

变式2：已知函数f(x)lg(x2x2)lg2，试判断其奇偶性.

2【例2.26】已知函数f(x)xa(x0,xR)，试判断其奇偶性. x

分析

利用函数奇偶性的定义进行判断. 解析

当a0时，f(x)x2，满足f(x)f(x)，故f(x)为偶函数；

2当a0时，f(x)xaa,f(x)x2，假设f(x)f(x)对任意xR，x0恒xx成立，则此时a0，与前提矛盾；

2假设f(x)f(x)对任意xR，x0恒成立，则此时2x0，即x0，与条件定义域{x|x0,xR}矛盾. 综上所述，当a0时，f(x)为偶函数；当a0时，函数f(x)为非奇非偶函数. 评注

①函数f(x)是奇函数f(x)f(x)0；函数f(x)是偶函数f(x)f(x)0.奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称. ②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例. ③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由x与加法法则运算得到的函数，而yx为偶函数，y22a通过xa(a0)为奇函数，故当a0时，xf(x)为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当a0时，则f(x)x2为偶函数.

变式1：函数F(x)(12)f(x)是偶函数，并且f(x)不等于零，则f(x)是（

）

2x1A.奇函数

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

变式2：对于函数yf(x),xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“f(x)是奇函数”的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【例2.27】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x,yR都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，试判断f(x)的奇偶性. 分析

对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到f(x)与f(x)的关系. 解析

由函数定义域为R可知定义域关于原点对称.依题意可令x0,y0，得2f(0)2[f(0)]2，因为f(0)0，所以f(0)1.令x0，可得f(y)f(y)2f(y)，

即f(y)f(y)，所以f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数. 评注

对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令x0,1,1等）凑成含有f(x)与f(x)的关系的式子，然后进行判断.

变式1：已知函数f(x)在R上有定义，且对任意x,yR都有f(xy)f(x)f(y)，试判断f(x)的奇偶性.

变式2：若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1,x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则下列说法正确的是（

）

A.f(x)是奇函数

B.f(x)是偶函数

C.f(x)+1为奇函数

D.f(x)+1为偶函数

变式3：已知函数f(x)在(1,1)上有定义，且对任意x,y(1,1)都有xyf(x)f(y)f()，试判断函数f(x)的奇偶性. 1xy

变式4：已知f(x)，g(x)在R上有定义，对任意的x,yR，有f(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)，且f(1)0. (1)求证：f(x)为奇函数；

(2)若f(1)f(2)，求g(1)g(1)的值.

【例2.28】已知偶函数f(x)(1a)xmx1的定义域为(m3m8,m)，则322m2a______________. 分析

定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件. 2解析

因为f(x)为偶函数，故其定义域必关于原点对称，所以m3m80，且

m23m8m，解得m4.由函数f(x)为偶函数得x3的系数为0，则1a0，即a1，故m2a6.

变式1：若函数f(x)x为奇函数，则a（

）

(2x1)(xa)

A.

123

B.

C.

D.1

234x22a2)是奇函数，则a_____________. 变式2：若函数f(x)loga(x

变式3：若f(x)

1a是奇函数，则a_____________. x21k2x(k为常数）为其定义域上的奇函数，则k____________. 变式4：函数f(x)x1k2

变式5：函数f(x)loga(

【例2.29】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x(,0)时，f(x)xx，则当x(0,)时，f(x)=_______________. 解析

当x0时，则x0,f(x)(x)(x)xx，因为f(x)是偶函数，所以4441kx)(a1)为其定义域上的奇函数，则k__________. x1f(x)f(x)xx4，故当x(0,)时，f(x)xx4. 评注

解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.

变式1：已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)xx，求函数f(x)的解析式.

2

【例2.30】已知f(x)为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：f(x)一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式. 分析

先设f(x)能写成一个函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，再利用奇偶函数的定义列方程组，解方程组即得. 解析

先假设存在f(x)g(x)h(x)……………①

其中g(x)为奇函数，h(x)是偶函数，则f(x)g(x)h(x)g(x)h(x)………②

由①+②得，h(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，由①-②得，g(x). 22由此，我们得出结论，对定义域关于原点对称的函数f(x)，都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和.

变式1：已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0,a1).若g(2)a，则f(2)=（

）

A.2

B.

变式2：设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（

）

A.f(x)|g(x)|是偶函数

B.f(x)|g(x)|是奇函数

15172

C.

D.a

44C.|f(x)|g(x)是偶函数

D.|f(x)g(x)是奇函数