习题2.2教学实录

指数函数与对数函数图象及其性质

教学目标：

1．了解指数、对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系；

2．会求对数函数的定义域；

3．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力

教学重点：指数、对数函数的定义、图像、性质

教学难点：对数函数与指数函数的关系

教学过程：

一、指数函数

1．指数函数定义：

一般地，函数yax（a0且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．

2．指数函数yax在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质：

a1

0a1

图象

性质

（1）定义域：R

（2）值域：(0,)

（3）过点(0,1)，即x0时y1

（4）在R上是增函数

（4）在R上是减函数

二、对数函数

1．对数函数的定义：函数

ylogax(a0且a1)叫做对数函数。

2．对数函数的性质：

（1）定义域、值域：对数函数ylogax(a0且a1)的定义域为(0,)，值域为(,)．

（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于yx的对称图形，即可获得。

1

同样：也分a1与0a1两种情况归纳，以ylog2x（图1）与ylog1x（图2）为2例。

x

y

2

yx

1

ylog2x

1

（图1）

（3）对数函数性质列表：

a1

x1

ylogax

图

象

1y()x

21 1 yx

ylog1x

2（图2）

0a1

x1

(1,0)

（1）定义域：(0,)

性

质

（2）值域：R

（3）过点(1,0)，即当x1时，y0

（4）在（0，+∞）上是增函数

(1,0)

ylogax

（4）在(0,)上是减函数

xx例1、当a1时,在同一坐标系中, 函数ya与yloga的图象是图中的（ ）

例2．求下列函数的定义域、值域：

（1）y8

（4）ylog2(x3) （5）ylog2(3x)

解：（1）212x1 （2）y1() （3）y312xx 2x10 ∴x11 原函数的定义域是{xxR,x}，

222

1

则t0,tR

2x1 ∴y8t(tR,t0)得y0,y1，

令t所以，原函数的值域是{yy0,y1}．

（2）1()0 ∴x0 原函数的定义域是0,，

xx 令t1()(x0) 则0t1，

1212 yt在0,1是增函数 ∴0y1，

所以，原函数的值域是0,1．

（3）原函数的定义域是R，

令tx 则t0， y3t在,0是增函数， ∴0y1，

所以，原函数的值域是0,1．

（4）令tx3，则ylog2t，

∵t0，

∴yR，即函数值域为R．

（5）令t3x，则0t3，

∴ylog23，

即函数值域为(,log23]．

例3、求下列函数的奇偶性

2ax11、当a1时，判断函数yx的奇偶性

a1

22、判断函数f(x)log2(x1x)的奇偶性。

ax1解（1）：当a1时，证明函数yx

是奇函数。

a1证明：由a10得，x0，

故函数定义域{xx0}关于原点对称。

xax1(ax1)ax1axf(x)xf(x)

a1(ax1)ax1ax∴f(x)f(x)

ax1所以，函数yx

是奇函数。

a1

3

（2）∵x21x恒成立，故f(x)的定义域为(,)，

f(x)log2(x21x)

1

log22x1xlog2x21x(x1)x222

log2x21xf(x)，

所以，f(x)为奇函数。

例4：解不等式

1、解不等式：log2(x1)log2(1x)

2、函数f(x)axloga(x1)在0，1上最大值和最小值之和为a，则a的值为多少？

例5、求下列函数的单调区间

1x23x2y()1、求的单调区间。

3

2、求函数y2log1(x23x2)的单调区间。

3解：令ux3x2(x)133在[,)上递增，在(,]上递减，

4222又∵x3x20， ∴x2或x1，

2故ux3x2在(2,)上递增，在(,1)上递减，

又∵y2log1u为减函数，

22323所以，函数y2log1(x23x2)在(2,)上递增，在(,1)上递减。

3

作业《卓越》第三章末检测

4