信息技术应用 用计算机绘制函数图象课堂实录【3】

1.3.1

单调性与最大（小）值

教学目标：1.理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间等概念，明确函数单调性的几何意义.

2.理解函数的最大值和最小值概念，了解单调性与最值的内在联系. 3.能根据定义判断函数的单调性，会结合图象确定函数的单调区间，初步掌握求函数最值的一些基本方法. 4.培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力，加强师生情感交流. 教学重点：函数单调性与最值的概念

教学难点：确定函数的单调性和最值

教学课时：三课时

第一课时

教学内容：函数单调性的概念

教学过程：

A.

问题提出

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：

时间间隔t

记忆量y (百分比)

刚记忆完毕

100

20分钟后

58.2

60分钟后

44.2

8-9 小时后

35.8

1天后

2天后

6天后

一个月后

21.1

33.7

27.8

25.4 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”：

y 思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的

100 函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，

80 60 你打算以后如何对待刚学过的知识？

思考2：“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，

40 20 对此，我们如何用数学观点进行解释？

B.

知识探究

探究（一）

考察下列两个函数；

2（1）f(x)x；

(2)f(x)x(x0. )o 1 2 3 t 思考1：这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？

y y

o x

o x

这两个函数的图象从左至右逐渐上升

思考2：如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？

函数值y的取值依次增大

y 思考3：如图为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图象，

yf(x)

对于该区间上任意两个自变量x1和x 2，当x1x2时，

f(x1)与f(x2)的大小关系如何？

f(x1)

o x1 f(x2)

x x2 思考4：我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”？

对于函数f(x)定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1

时，都有f(x1)

探究（二）

考察下列两个函数；

2（1）f(x)x；

(2)f(x)x(x0. )思考1：这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？

y

y

o x

y o x

这两个函数的图象从左至右逐渐下降

思考2：我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义

“函数f(x)在区间D上是减函数”？

yf(x)

f(x1)

f(x)

2x2 x o x1 对于函数f(x)定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1

时，都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间D上是减函数.

思考3：对于函数f(x)定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1>x2

时，都有f(x1)

思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？函数f(x)(x1)的单调区间如何？

2

C.理论迁移

例1 如图是定义在闭区间

[-5，6]上的函数yf(x)

的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，

-5 -3 o

1

3

6 x

y

以及在每一单调区间上，函数yf(x)是增函数还是减函数.

例2

物理学中的玻意耳定律

Pk(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体V积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性证明。

例3 试确定函数f(x)x1在区间(0,)上的单调性. xD.小结作业

利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1 任取x1，x2∈D，且x1

2 作差f(x1)－f(x2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

5 小结（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

作业：

P32 练习：1，2，3，4.