复习参考题教学设计第一课时

章末复习提升课

[来源:Z*xx*k.Com]

函数与方程

[问题展示]

(必修1 P88例1)求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数．

解：由于f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，若函数存在零点，

则f(x)最多仅有一个零点．

又x∈(0，2)时，f(x)<0，

x∈(3，＋∞)时，f(x)>0.

而且f(2)＝ln 2－2

f(3)＝ln 3>0，所以f(2)f(3)<0.

所以f(x)有且仅有一个零点，且该零点在区间(2，3)内．

若函数f(x)＝ln x＋2x＋c的零点在(2，3)内，则c的范围为________．

解析：因为f(x)＝ln x＋2x＋c在(0，＋∞)上是增函数，

由题意知f(x)有且仅有一个零点在(2，3)内．

所以f(2)f(3)<0.

即(ln 2＋4＋c)(ln 3＋6＋c)<0.

解得－ln 3－6

所以c的范围为(－ln 3－6，－ln 2－4)．

答案：(－ln 3－6，－ln 2－4)

已知f(x)＝ln x－x在(0，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，设g(x)＝f(x)＋c. (1)若g(x)无零点，则c的范围为________；

(2)若g(x)有且仅有一个零点，则c＝________；

(3)若g(x)有两个零点，则c的范围为________．

解析：因为f(x)＝ln x－x在(0，1]上是增函数，

在[1，＋∞)上是减函数．

所以g(x)＝f(x)＋c在(0，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．

所以g(x)max＝f(1)＋c＝c－1.

(1)要使g(x)无零点，则c－1<0，即c<1.

所以c的范围为(－∞，1)．

(2)要使g(x)有且仅有一个零点，则c－1＝0.

所以c＝1.

(3)要使g(x)有两个零点，则c－1>0，即c>1.

而且存在x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)，使得g(x1)<0，g(x2)<0.

所以当c>1时，g(x)有两个零点，且分别在区间(0，1)和(1，＋∞)内．

答案：(1)(－∞，1)

(2)1

(3)(1，＋∞)

函数模型

[问题展示]

(必修1 P97例2)(为了方便计算，背景与数字略有改动) 某公司为了实现每月100万元的利润目标，拟制定一个激励销售人员的奖励方案，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时，奖金不超过利润的30%，现有三个奖励模型：y＝0.12x，y＝lg x＋2，y＝1.02x，其中哪个模型能符合公司要求．(注参考数据：1.0280≈4.9，1.0290≈5.9，1.02100≈7.2)

解：三个奖励模型都是增函数，下面分三步进行，

第一步：作简图，初步判断．

[来源:学.科.网]

从简图知，当x∈[10，100]时，仅有模型y＝lg x＋2的图象不超过直线y＝5的上方，这说明按y＝lg x＋2初步符合公司要求．

第二步：数字判断．

(1)对于模型y＝0.12x，

125在区间[10，100]上递增，且当x＝时，y＝5.

3125因此当x∈(，100]时，y>5，不符合要求．

3

(2)对于模型y＝1.02x，在区间[10，100]上递增，且由参考数据知，x＝80时，y≈4.9，x＝90时，y≈5.9，

即在区间(80，90)内有一个点x0，满足1.02x0＝5，

因此当x∈(x0，100]时，y>5，不符合要求．

(3)对于模型y＝lg x＋2，在区间[10，100]上递增，且x＝100时，y＝4，

即x∈[10，100]时，y≤4，符合要求．

第三步：验证模型y＝lg x＋2的合理性．

lg x＋2由题意得≤0.3，

x即lg x≤0.3x－2，x∈[10，100]．

作出y＝lg x与y＝0.3x－2的图象．

从图象看出，当x＝10时，lg x＝0.3x－2.

当x∈(10，100]时，lg x<0.3x－2.

故按模型y＝lg x＋2奖励，奖金不超过利润的30%.综上所述，模型y＝lg x＋2符合公司要求．

某公司拟按模型y＝alg x＋b(a>0，b>0)，x∈[10，100]对销售人员进行奖励(其中x表示销售利润，y表示奖金，单位：万元)，已知当销售利润为10万元时，销售人员获得了利润的30%的奖金．当销售利润为100万元时，销售人员获得了4万元奖金．

(1)求奖励模型函数的解析式；

(2)若某销售人员获得奖金3.5万元时，则他的销售利润为多少？且他获得了利润的百分之几？(参考数据10≈3.16) alg 100＋b＝42a＋b＝4解：(1)由题意得alg 10＋b.即.

a＋b＝3＝0.310所以a＝1，b＝2.

所以模型函数解析式为y＝lg x＋2.

(2)当y＝3.5时，lg x＋2＝3.5，

x＝10＝1010＝31.6.

32[来源学科网]

y3.5此时＝≈11%.

x31.6所以当他的销售利润为31.6万元时，获得奖金3.5万元，此时获得利润的11%.

1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(

) 1－，0

A．411C．4，2

10，

B．413D．2，4

1111441＝e2＋2－3解析：选C．因为函数f(x)为单调增函数，又f＝e＋1－3＝e－2<0，f42＝e－1>0，所以f(x)零点所在区间为C．故选C．

2．已知x0是函数f(x)＝2x＋A．f(x1)<0，f(x2)<0

B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0

D．f(x1)>0，f(x2)>0 解析：选B.由于函数g(x)＝11＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，1－xx－11的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(

) 1－x12＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上，f(x1)f(x0)＝0.故选B.

3．已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地．把汽车离A地的距离x(km)表示为时间t(h)的函数表达式是(

) A．x＝60t

B．x＝60t＋50 60t，0≤t≤2.5C．x＝

150－50t，t>3.560t，0≤t≤2.5D．x＝150，2.5

150－50(t－3.5)，3.5

4．研究表明：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2012年、2013年、2014年大气中的CO2浓度分别比2011年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的可比单位数与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r或函数g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，且又知2016年大气中的CO2浓度比2011年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？

p＋q＋r＝1，解：若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，则依题意得：4p＋2q＋r＝3，

9p＋3q＋r＝6.11解得p＝，q＝，r＝0，

2211所以f(x)＝x2＋x.

22若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，

ab＋c＝1，2则ab＋c＝3，

ab3＋c＝6.83解得a＝，b＝，c＝－3.

3283x所以g(x)＝·－3.

32利用f(x)，g(x)对2016年的CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)＝15可比单位，g(5)＝17.25可比单位，

因为|f(5)－16|<|g(5)－16|，

11故选f(x)＝px2＋qx＋r即f(x)＝x2＋x作为模拟函数较好．

22