阅读与思考 集合中元素的个数全国优秀课堂实录

高一数学试题

一

选择题

1．已知集合M1,1,2，N1,4，则M∪N= ( ) A．1 B．

1,4 C．1,1,2,4 D． 2．下列函数中，定义域为R的是

（ ）

A. yx3 B. ylog2x C. y3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．

A．3

B．23

C．33

D．43

x D. y1

x4．下列四组函数中表示相等函数的是（ ）

x2A．f(x)x与g(x)x

B．f(x)x与g(x)

x2C．f(x)lnx与g(x)2lnx

D．f(x)logaax(a＞0,a1)与g(x)3x3

5．若x0是方程lnx + x = 3的解，则x0属于区间( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 6．正方体的棱长和外接球的半径之比为(

)．

A．3∶1

B．3∶2

C．2∶3

D．3∶3 27．下列函数中，既是偶函数又在0,上单调递增的函数是（ ）

A．

y2x B．

yx1 C．

yx4 D．

y28．已知函数fxA．32x

log2x，x0，则x3，x01ff4的值是（ ）

11 B．9 C． D．9

993yx9. 下列语句:(1)函数的图象关于原点成中心对称; 4yyx(2)函数的图象关于轴成轴对称; y(3)函数1(x0)yx成轴对称. x的图象关于直线其中正确语句的个数是(

) A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

210.设ak>0 , bc<0,在同一坐标系中y=ax+c与y=kx+b的图象是（ ）

yy

- 1 -

y x x y x x

A B C D 111a()3,b()3,c()3252,则a、b、c的大小关系是(

) 11．若A．abc

B．cab

C．bca

D．bac

12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f(x1)f(x1)，且在区间[0,1]上是增函数，则f(5.5)、f(1)、f(2)的大小关系是（

）

A．f(5.5)f(2)f(1)

B．f(1)f(5.5)f(2)

C．f(2)f(5.5)f(1)

D．f(1)f(2)f(5.5)

13．若奇函数f(x)（xR）满足f(2)2,f(x2)f(x)f(2)，则f(1)（ ）

A．0 B．1 C．22111 D．

2214．若函数yaxm1a0的图象过第一二三象限，则有（ ）

A．a1 B．a1,1m0 C．0a1,m0 D．0a1

15．已知定义域为R的函数fx在区间4，上为减函数，且函数yfx4为偶函数，则（ ）

A．f2f3

B．f2f5 C．f3f5

D．f3f6

416．已知函数f(x)是定义在(,)上的偶函数. 当x(,0)时，f(x)xx，则当x(0,)

时，函数f(x)的解析式为

（ ）

A．xx B．xx C．xx D．xx

2xx(x0)17．函数f(x)是（ ）

2xx(x0)4444A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

18．已知函数f(x)41的定义域是a,b（a,b为整数），值域是0,1，则满足条件的|x|2整数数对(a,b)共有（ ）

A． 5个 B．4个 C．3个 D．2个

19．.一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为（

）

- 2 -

（A）

1123

（B） （C）

（D）

6266

二．填空题

3x220．函数f(x)lg(2x1)的定义域是_______．

1x21. 幂函数yf(x)的图象过点(2,2)，则f(x)的解析式为_______________

222一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．

x23. 函数ya（a0，且a1）在[1,2]上的最大值比最小值大a，则a的值是 。

2

24如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．

25．函数f(x)log1(x23x2)2的递增区间是

. 26．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放y（毫克）

1

- 3 - O

0.1

t（小时）

1完毕后，y与t的函数关系式为y16ta（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为

．

（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过

小时后，学生才能回到教室．

三解答题

27 计算(1).log224log23lg1lg2log33

21(2).(332)693－　2(8)0 28已知函数f(x)x22ax2,x[3,3].

（1）当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值; （2）求实数a的取值范围，使yf(x)在[3,3]上为单调函数. 29已知集合A{x|a1x2a1}，B{x|0x1}，

(1) 若BA,求实数a的取值范围;(2)若A∩B，求实数a的取值范围。

30.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：生产产品x台，其总成本为Gx（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Rx（万元）满足：

20.4x4.2x0≤x≤5Rx，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据11x5上述统计规律，请完成下列问题：

（1）写出利润函数yfx的解析式（利润=销售收入-总成本）；

（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？

31．已知a是不为0的常数，函数f(x)（1）判定并说明函数f(x)的奇偶性；

（2）用单调性的定义证明函数f(x)在(0,)上是单调递增函数；

11. ax

- 4 -

（3）若f(x)在,2上的值域是,2，求a的值. 2232．

已知函数fxx22ax2

, x5,5．

（1）当a1时，求函数fx的最大值与最小值；

（2）求实数a的取值范围，使yfx在区间5,5上是单调函数．

33．

如图,OAB是边长为2的正三角形，记OAB位于直线xt(t0)左侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t)的解析式.

34．

定义在R上的函数f(x)满足11y B O x=t A x 2xf(x)x.f(x)f(x).当x(0,1)时有:41

(1)求f(x)在(1,1)上的解析式; (2)判断f(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明.

35．

某市一家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：

该市煤气收费的方法是：煤气费=基本费十超额费十保险费．

若每月用气量不超过最低额度A月份

1 2 3 用气量（立方米）

煤气费（元）

4 4.00 25 35 14．00 19．00 （A4

）立方米时，只付基本费3元和每户每月定额保险费C(0C5)元；若用气量超过A立方米时，超过部分每立方米付B元．

（1）根据上面的表格求A、B、C的值；

（2）若用户第四月份用气30立方米，则应交煤气费多少元？

36．

设a为实数，记函数f(x)a1x21x1x的最大值为g(a)。

- 5 -

（1）设t＝1x1x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) （2）求g(a) （3）试求满足g(a)g(1a)的所有实数a

37．如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是

边长为1的菱形，ABC4，

OA底面ABCD, OA2, M为OA的中点，N为BC的中点；

（Ⅰ）证明：直线MN//平面OCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

- 6 - OMADBNC

高一数学试题答案

一选择题

1．C. 2．A 3．A．4．D 5．C 6．C 7．B． 8．C 9．D 10．A 11.D 12。C 13B 14B 15D 16A 17A 18A 19A 二填空题

20．（-0.5,1 ）

21. f(x)x22,12 23. 12

31或

2224，第一，二，三正确

10t,(0t0.1)y1t0.1(t0.1)1625.

(,1)

.26.(I)

；(II)0.6 .

三解答题

27【解析】（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.

1(1).log224log23lglg2log3321(log224log23)(lglg2)log33

2log28lg113121(2).(332)69(32)(3)131262323－　2(8)0

21982714428.解：（1）当a1时，f(x)(x1)1，对x[3,3],则

fminf(1)1,fmaxf(3)17.

222（2）f(x)x2ax2(xa)2a的对称轴为xa,又yf(x)在[3,3]上为单调函数，则

a3或a3， a3或a3

- 7 -

a1029．解：（1）若B，则，解得0a1

A2a112a1(a1)0（2）AB=，∴ (ⅰ) 当A=时，有2a+1a-1a-2

(ⅱ)当A时，有2a+1a-1a>-2 1B，则有2a+10或a-11a-或a2 212a-或a2 21 综上可知a-或a2 2又A 30.

解：（1）由题意得G(x)=2.8+x． 0.4x23.2x2.8(0≤x≤5)∴f(x)=R(x)G(x)=． 8.2x(x5)（2）当x >5时，∵函数f(x)递减，∴f(x)

2当0≤x≤5时，函数f(x)= -0.4(x+3.6，

当x=4时，f(x)有最大值为3.6（万元）． 所以当工厂生产4台时，可使赢利最大为3.6万元． 31解：（1）函数f(x)为非奇非偶函数。

依题意知函数f(x)的定义域为(,0)但f(x)(0,)，关于原点对称， 11f(x)，所以f(x)不是偶函数， ax又f(x)f(x)，故f(x)也不是奇函数。

综上知函数f(x)为非奇非偶函数。

（2）证明:设x2x10，则x2x10,x1x20，

11xx1111f(x2)f(x1)()()210, ax2ax1x1x2x1x2f(x2)f(x1),f(x)在0,上是单调递增的. （3）1121f(x)在,2上单调递增，f(),f(2)2，易得a. 2252

32

- 8 -

解：（1）当a1时，

fxx22x2x11 , x5,5

2∴x1时，fx的最小值为1；

x5时，fx的最大值为37．

（2）函数fxxa2a2图象的对称轴为xa，抛物线开口向上

2∵fx在区间5,5上是单调函数，∴a5或a5

,)

故a的取值范围是(,5][5

33 解：(1)当0t1时,f(t)132t3tt;22

(2)当1t2时,f(t)113223(2t)3(2t)t23t3;222

(3) 当t2时,综上: f(t)1233;2

32t,(0t1)232f(t)t23t3,(1t2)23,(t2)

34 解：(1)设x(1,0)则x(0,1)

2xf(x)x,xR,f(x)f(x),x(0,1)41

∵且时,2x2xf(x)f(x)xxx(1,0)时,有4141

在f(x)f(x)中,令x0,f(0)f(0)f(0)0.

综上:当x(1,1)时,有:

- 9 -

2x,x(0,1)x412xf(x)x,x(1,0)410,x0

(2) f(x)在(0,1)上是减函数. x1x2x2x10xx1xx0,0xx2,21,22,

122112证明:设则2x22x1(2x12x2)(2x1x21)f(x2)f(x1)x2x10x1x24141(41)(41)

f(x2)f(x1)

f(x)在(0,1)上是减函数

35 解：（1）设每月用气量为x立方米，支付费用为y元，根据题意，得

(0xA)3Cy3(B(xA)C(xA)(1)

(2)由题设知，A>4,0

3+C≤8 从表格中可以看出第二、三月份的费用均大于8元。

故用气量25立方米、35立方米均应大于最低额A立方米，从而将x=25，x=35代入（2）得3C43B(25A)C143B(35A)C19A5B0.5C1

解得：

4(0x5)

(2)由（1）得y

0.5x1.5(x5)把x=35代入,得y=16.5 答：4月份煤气应付16.5元。

36

解：（1）∵t1x1x，

∴要使t有意义，必须1x0且1x0，即1x1

∵t2221x2[2,4]，且t0……①

∴t的取值范围是[2,2]。

- 10 -

1211t1，∴m(t)a(t21)tat2ta，t[2,2]。

22212（2）由题意知g(a)即为函数m(t)atta，t[2,2]的最大值，

2112∵直线t是抛物线m(t)atta的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

a2（i）当a0时，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，

1由t0知m(t)在t[2,2]上单调递增，故g(a)m(2)a2；

a（ii）当a0时，m(t)t，t[2,2]，有g(a)=2；

由①得：1x2（iii）当a0时，，函数ym(t)，t[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

12时，g(a)m(2)2，

(0,2]即aa211121若t(2,2]即a(，

,]时，g(a)m()aaa2a2211若t(2,)即a(,0)时，g(a)m(2)a2。

a2若t综上所述，有

1(a)221,(a)。

222,(a)21111（3）情形1：当a2时，此时g(a)2，g()2

a2aaa21g(a)=a2a2,由212，与a<-2矛盾。

2解得a1a211a211时，此时g(a)2，g()

aa22a2情形2：当2a21a2解得，

a2与a2矛盾。

a2情形3：当2a1122,2时，此时g(a)2g()

aa22所以2a2,

2情形4：当1121a时，22，此时g(a)a，

a2a22

- 11 -

1122g()2a矛盾。

2,解得a,与aa2a22

111a0时，2，此时g(a)=a+2, g()2

情形5：当2aa由a22解得a22,与a12矛盾。

情形6：当a>0时，111a0，此时g(a)=a+2, g(a)a2

由a21a2解得a1，由a>0得a=1. 综上，满足g(a)g(1a)的所有实数

a[2,2]的取值范围是:21

37（Ⅰ）证明一：取OD中点F，连接MF，CF 又∵M为OA的中点

∴MF//12AD

∵底面ABCD是的菱形，N为BC的中点，

∴NC//12AD

∴MF//NC

∴MFCN是平行四边形

∴MN//FC

又MN平面OCD，FC平面OCD

∴直线MN//平面OCD

证明二：取OB中点E，连接ME，NE ∵M为OA的中点

∴ME//AB

∵底面ABCD是的菱形

∴AB//DC

∴

ME‖DC又ME平面OCD，DC平面OCD

∴ME//平面OCD

∵E,N分别为OB,BC的中点∴EN//OC，

- 12 -

又EN平面OCD，OC平面OCD

∴EN//平面OCD，

又MEENE

∴平面MNE//平面OCD，又MN平面MNE

∴直线MN//平面OCD

（Ⅱ）

, AB与MD所成角的大小为



3

- 13 -