阅读与思考 集合中元素的个数课时教案

1.1 集合

课堂探究

探究一 判断元素与集合的关系

1．判断一个元素是不是某个集合的元素，对于用描述法给出的集合，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征；对于用列举法给出的集合，只需观察即可．

2．符号“∈”和“∉”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合间的关系，这一点要特别注意．

【典型例题1】

用符号“∈”或“∉”填空：

(1)2__________{x|x<2},3__________{x|－5≤x≤2，x∈Z}；

2(2)4__________{x|x＝n＋1，n∈Z},5__________{x|x＝n＋1，n∈Z}；

(3)(－1,1)__________{y|y＝x}，(－1,1)__________{(x，y)|y＝x}．

解析：(1)因为2<(所以2∈{x|x<}．

222)，

2因为{x|－5≤x≤2，x∈Z}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}，

所以3∉{x|－5≤x≤2，x∈Z}．

(2)令4＝n＋1，则n＝±22∉Z，

所以4∉{x|x＝n＋1，n∈Z}．

令5＝n＋1，则n＝±2∈Z，

所以5∈{x|x＝n＋1，n∈Z}．

(3)集合{y|y＝x}的代表元素是数，集合{(x，y)|y＝x}的代表元素是实数对，且1＝(－1)，

所以(－1,1)∉{y|y＝x}，(－1,1)∈{(x，y)|y＝x}．

答案：(1)∈

∉ (2)∉

∈ (3)∉

∈

探究二 集合元素特性的应用

利用集合元素的特性解答问题，主要是利用集合元素的确定性与互异性：

(1)确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否能形成集合的标准．

(2)互异性：是指对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．简单地说，一个集合中不能出现相同的元素．

【典型例题2】 (1)下列叙述：

①著名的数学家；

②某校2013年在校的所有高个子同学；

2222222

③不超过20的非负数；

④2013年度诺贝尔文学奖获得者．

其中能构成集合的是__________．(填序号) (2)已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

(1)解析：①②所述的对象都没有明确的标准，故都不能构成集合；③④所述的对象都有确定的标准，即给定一个对象都能确定是否属于该范畴，故③④所述对象能构成集合．

答案：③④

(2)解：∵－3∈A，

∴－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0. 此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1. 此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 规律小结根据已知条件求集合问题中的参数值时，要进行检验，不仅要检验是否满足题目的条件，还要检验集合的元素是否满足互异性．

探究三 集合的表示

表示一个集合通常用列举法或描述法：

(1)列举法：

①对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．

②用列举法时要注意：元素之间用“，”而不是用“、”隔开；元素不能重复；不考虑元素顺序．

(2)描述法：

①对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将元素一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．

②使用描述法时，还应注意以下几点：

弄清楚集合的属性，是数集、点集，还是其他类型的集合．一般地，数集中的元素用一个字母表示，而点集中的元素则用一个有序实数对来表示．描述元素的共同特征时，若出现了元素记号以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．

【典型例题3】

用适当的方法表示下列集合．

(1)BRICS中的所有字母组成的集合；

(2)方程组的解集；

(3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；

(4)坐标平面内坐标轴上的点集．

思路分析：先根据题意确定符合条件的元素，再根据元素情况选择适当的表示方法．

解：(1)用列举法表示为{B，R，I，C，S}．

(2)由得

故方程组的解集用列举法表示为{(1,1)}．

(3)因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，

所以或或或

所以A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}．

(4)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0，故可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}．

探究四 易错辨析

易错点

集合中元素的互异性

【典型例题4】

用列举法写出关于x的方程x－(a＋1)x＋a＝0的解集．

错解：由x－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，

所以方程的解为x＝1或x＝a，则解集为{1，a}．

错因分析：错解中没有注意到a是参数，使方程的解集具有不确定性．为了保证集合中元素的互异性，写出解集时要对a进行分类讨论．

正解：由x－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，

所以方程的解为x＝1或x＝a. 若a＝1，则解集为{1}；

若a≠1，则解集为{1，a}．

反思对于用列举法表示的集合，若其中的元素用字母表示，要注意满足集合中元素的互异性．

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