习题3.1优秀教案板书设计

《用二分法求方程的近似解》课例

黄石市第一中学

黄旭东

电话：13117010691 1．教学内容解析

本课内容是学完函数后的一节函数应用课。这一章的主要知识点有：函数的零点与其对应方程根的关系、用二分法求方程的近似解、几类不同增长的函数模型、用已知函数模型解决问题、建立实际问题的函数模型．本节课的重点是在学习了零点的基础上，借用计算器，用二分法求相应方程的近似解问题，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。

本章以函数的应用独立成章，目的在于体现函数价值、强调数学应用．本章共两个小节，一节是函数与方程，另一节是函数模型及其应用．建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的；方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵着“函数与方程的思想”，用二分法求函数零点的步骤中渗透了“算法的思想，逼近思想”，它为学生后续学习算法内容埋下伏笔，为高等数学中学习微积分中中极限与逼近思想建立起到启蒙与导向的作用。在运用函数模型解决实际问题的过程中蕴含着“数学建模的思想”．因此，数学思想的教学也是本节课的重要内容．

根据以上分析，本节课的教学重点确定为

教学重点：运用函数模型实现实际问题转化；运用零点存在定理，结合计算器或计算机实现零点的近似求解。感悟函数与方程的思想、建模的思想、逼近的思想、算法的思想和数形结合的思想，培养学生沟通合作能力与自主发展能力的核心素养，同时贯穿数学文化的赏析与科学文化素养的培养等．

2．学生学情诊断

学生在学习完函数零点及零点存在性定理后，对变号零点的大致定位有了一个大致的了解。而对于如何求出方程的近似解满足精确度，在大脑中还是个模糊概念。

根据以上分析，本节课的教学难点确定为

教学难点：二分法流程理解，对求函数f(x)零点近似值的步骤3中“令bx1”或“ax1”，以及步骤4中“若︱a － b ︳＜

，则得到零点近似值a(或b)”的理解。

3．教学标准设置

（1）通过创设情境，让学生直观了解二分法实际应用，同时加深对二分法这个抽象数学概念的理解。

（2）通过实例探究，分组合作及对信息技术的具体运用，使学生能深刻把握二分法求方程的近似解要旨. 同时提高数学建模的能力及综合应用函数与方程的思想和解决实际问题的能力。

（3）学生会采用题中抽知的方式梳理出求二分法的具体过程及步骤，从而使学生达到“提高与归纳整理知识”的目的。

4．教学策略分析

1

本节课采用情境导入及

“实例探究式”．通过情境导入，让学生了解二分法大致意义，再结合实例探究，让学生了解建立函数模型解决实际问题的步骤，掌握用二分法求方程的近似解的步骤，进一步体会应用函数概念建立模型的过程与方法．同时通过合作探究，体会团体协作，科学探究的乐趣！

本节课要求学生参与度高，需采用实物投影仪、多媒体课件辅助教学，现采用的软件有几何画板、同时考虑到数据的准确及时处理，要求每个学生自带计算器．

教学流程：

创设情境

新知导入

问题探究

探中抽知

动态生成

总结感悟

有效建构

实例实践

一、创设情景，引入新课

1.情景一：猜手机价格

师：同学们看过著名主持人李咏主持的《幸运52》节目吗？现在这里是黄老师主持的《幸运52》节目现场，下面进行商品价格竞猜。（师手拿一款华为手机）

师：若要你们猜这款手机的价格，如何实施操作较好？

生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价，低了每隔十元增加报价。

生2：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；……

师：是按照生1那样每隔10元，还是按照生2那样来报价哪一个更快得到真实的价格？

生：（齐答）按照生2那样来报价。

师：生2的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）。

2.情景二：快速排查电缆故障节点

师：在现实生活中我们也常常利用上述这种方法。如黄石与大冶之间有一条通讯电缆上有15个接点，现中间某一接点发生故障，如何可以尽快找到故障接点？

生

3：先检查中间第8个节点，其发现中间断路，则故障在前8个节点之间，否则在后7个节点之间；再检查有故障的一段，类似再取中间一节点检查，类似方法再最多再取一次中间节点，便可判断出故障所在。也即最多3次检测便可判断出故障所在。

师：生3的方法我们也可生成上述动态过程（展示多媒体课件，区间逼近法）。

2

黄石A B C D E F G H I J K L M N O大冶

师：生2每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，逐步逼近商品的价格。生3同学也是通过类似的方法快速找到故障的节点，像这种这种每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，逐步逼近的思想就是二分法。

【评析】通过创设情境的方法，使学生快速了解二分法的含义，同时也提高学生学习新知的兴趣与热情。

二、问题探究

师：我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有广泛的应用。（推出多媒体）能否求出下列方程的近似解：x33x10;

师：我们上一节已经学习了零点存在性定理，同学们能否结合零点存在性定理及我们刚才谈到的二分法的思想，求出其近似解呢？

合作探究：求方程x33x10的一个近似解？（精确到0.1）

【评注】由情境入戏，再创设问题，探究新知。

生4：可利用几何画板作出函数f(x)x3x1的图象，方程f(x)0的根就是函数f(x)的零点，由图像知f(0)<0,f(1)>0,由零点存在定理知根所在区间xO(0,1)；

师：很好，下面的问题是如何找出函数满足精确度的近似的零点？

合作探究：学生先按四人小组探究。

【评注】合作交流、鼓励学生自主探索，发挥学生学习的主动性及探究精神。

生4：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值。

师：如何有效缩小根所在的区间？

生4：通过“取中点”的方法结合零点逐步缩小零点所在的范围。

师：（加以鼓励）很好！下面各组进行合作探究其结果。

合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程。四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果。）

生5：取区间(0,1)的中点0.5,用计算器算得f(0.5)0.63,因为f(0)f(0.5)0,所以零点在区间(0,0.5)内。再取区间(0,0.5)的中点0.25,用3y计算器算得f(0.25)0.23,因为f(0.25)f(0.5)0,所以零点在区间(0.25,0.5)内。

师（用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解。同时引导学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确

3

度。）

师：由于(0,1)  (0,0.5) (0.25,0.5),所以零点所在的范围越来越小。如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值。特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值。

师：下面请同学们再操作3步，2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程

师：（实物展台展示学生计算情况）

师：（用计算机展示用二分法逐步逼近零点，进而得到零点近似值）：

f(x) = x3 + 3∙x

1y32C: (1.00, 3.00)1H: (0.31, –0.03)–2–1D: (0.50, 0.63)G: (0.37, 0.18)f(0) = –1.00f(1) = 3.00f(0.5) = 0.63f(0.25) = –0.23f(0.375) = 0.18f(0.3125) = –0.03O–112F: (0.25, –0.23)E: (0.00, –1.00)x

师：当精确度为0.1时,由于|0.375-0.3125|=0.06250.1,所以方程的近似解–2为x10.3

1、

二分法的概念：（多媒体投影幻灯片）

师:

给定精确度ε，能否总结用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤? 生6:(总结回答,多媒体投影幻灯片)

用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0,给定精确度ε；

（2）求区间（a,b）的中点

（3）计算f(x1)；

(I)若f(x1)0，则x1就是函数的零点；

(II)若f(a)f(x1)0，此时零点x0(a,x1)；

4

(III)若f(x1)f(b)0，则此时零点x0(x1,b). （4）判断是否达到精确度ε：即若ax1或x1b则得到零点近似值a(或b),否则将区间(a,x1)或(x1,b)再重复2~4步骤。

【评注】通过分组合作，探中抽知，培养学生团队协作能力、创新能力、归纳能力。

师：由于二分法所分区间越来越小，但计算量越来越大，我们往往借助计算机来帮助我们完成。计算机有独特的程序结构及简明的语言算法，上述二分法可用计算机的算法语言进行简化。考虑到二分法涉及区间较多，可将区间端点看成变量，前端点用变量a表示，后端点用变量b表示，则步骤（3）（4）可简化为 （3）计算f(x1)；

(I)若f(x1)0，则x1就是函数的零点；

(II)若f(a)f(x1)0，此时零点x0(a,x1)则令bx1；

(III)若f(x1)f(b)0，则此时零点x0(x1,b)令ax1. （4）判断是否达到精确度ε：即若ab则得到零点近似值a(或b),否则重复 2~4步骤。

上述语言为计算机的算法语句，是我们进一步学习计算机编程的基础，在此不再多述，下面同学们用二分法解决实际问题。

【评注】通过对算法的简述，为后续学习算法提早作铺添。同时通过对算法语句高度简练与严谨的逻辑性的介绍，使学生感悟严谨与简洁、抽象与简练的数学美！同时让学生意识到数学与计算机高度的关连性，提升他们学习的热情。

3、事例应用探究：

利用计算器，求方程2x3x7的近似解（精确度0.1）. (本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐。此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程。) 师：由二分知，我们应先估计方程的根的范围？同学们能否快带判断出来？

生7：其要在（1，2）之间

师：你是如何判断的

某根所在区间的方法是估值或画图象（部分学生跟着说出方法）

生7：构建函数f(x)2x3x7，由于函数f(x)为增函数，且不难知f(1)0,f(2)0，由零点存在性定理知，在01，f(x)必有一零点。

师：判断出了所在区间后下面同学们在下面用二分法加以解决

（各小组分组合作计算）

小组A：取区间(1,2)的中点x11.5,用计算器算得f(1.5)0.33,因为f(1)f(1.5)0,所以零点x0 (1,1.5)。再取 (1,1.5)的中点1.25,用计算器算得f(1.25)0.87,因为f(1.25)f(1.5)0,所以零点x0(1.25,1.5)内。

5

同理可得: x0 (1.375,1.5), x0 (1.375,1.4375) 因为|1.375-1.4375|=0.06250.1，所以原方程的近似解为x1.4 师：（利用多几何画板演示其动态过程，同时作出函数f(x)2x3x7图像）

y87654321f(x) = 2x + 3∙x

7f(1) = –2.00f(2) = 3.00f(1.5) = 0.33f(1.25) = –0.87f(1.375) = –0.28f(1.4375) = 0.02–8–7–6–5–4–3–2–112345678xO–1–2–3–4–5–6

–7师：由上面大家解决问题的过程知，求方程的近似解问题，我们可首先构建–8函数，再结合零点存在性定理及二分法找到其近似解是我们一种重要的选择。那么是不是所有方程根都可二分法呢？下面看一下：方程x10

，其根能否有二分法求解呢？

生8：（思考

）不能用二分法，由于二分法必顺找到一个零点区间，使区间两端点的函数值异号，而此方程零点附近的函数值都是大于0，故不能用二分法求解。

师：非常好！二分法最重要的理论依据是运用了零点存在性定理及逼近思想，而零点存在性定理必顺保证零点附近函数值异号。像这种附近函数值异号的零点我们称为变号零点，而附近函数值同号的零点我们称为非变号零点。而我们能用二分法求出近似值的零点只能是变号零点，这是我们运用二分法的必要条件！

【评注】推出特例，通过对比与比较，引导学生加深所学知识应用条件的深刻把握！

三、巩固反馈：

1）下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）

2

y y

y

y

O O x x O

x

O

x

（A）

（B）

（C

）（D

精确到0.1）2)求方程lnx2x60的一个正的近似解？（

（学生解决运算）

【评注】巩固新知，提升学生进一步解决与应用问题的能力。 四、

课堂小结，知识构建

师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？

6

（生总结，并可以互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）

1、

二分法是一种求一元方程近似解（变号零点）的通法。

2、

利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。

3、

数学结合是处理函数与方程关系的一种有效途径。

【评注】学生通过总结，加深了对本节知识的理解和思想方法的掌握，从而形成了自觉内化的意识

五．数学文化核心素养的传播与爱国主义的宣扬

师：在人类用智慧不断探索知识的历史长河中，人类取得了很夺目的成果，而“方程的求解”便是其中一颗的璀璨明珠。今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的艰辛探索。（多媒体投影幻灯片）

我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题。约公元50～100年编成的《九章算术》，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法；7世纪隋唐的王孝通、11世纪北宋贾宪、13世纪，南宋数学家秦九韶在方程的研究上都作了很大的贡献。

国外数学家对方程求解亦有很多研究。如阿拉伯数学家花拉子米、意大利数学家塔尔塔利亚、意大利数学家卡尔达诺等。

虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如二分法、牛顿法、弦截法等。

希望同学们认真学好知识，打好其实的基础，勇敢探求新知，为实现我们的科技强国而努力，为早日实现我们的中国梦而贡献我们的青春与才智！

【评注】传播数学文化，让学生感知中华文化的博大精深，同时宣扬爱国主义的思想，引导学生为报效祖国而读书，为科技兴国的强国的中国梦而读书！增加他们学习的豪情与斗志

五、课后检测

1、必修1第102页习题3、4、5 【评注】通过作业，进一步内化学生的认知结构，培养学生的动手实践、合作探究能力，让学生进一步体会数学的科学价值和应用价值，增强学生学习数学的兴趣，激发学生的爱国热情．

三、课后反思

本节课的教学，倡导“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生个性发展”

由“关注知识”转向“关注学生自主探究”的教学真谛。主要教学过程链接为：从情景预设，引导学生“联想与探究”，到提出问题，引导学生“数学建模”通过分组协作，对问题进行“提炼抽象”，通过“严密的逻辑推理”与“严谨的数学数据分析”结合多媒体的直观展示动从而“动态生成知识结论”，最后通过数学文化的熏陶，从而使课堂气氛达到高潮。着力培养与渗透各种数学核心素养！在本堂课中，“数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、文化欣赏”都得到了完美的体现！

可取之处：一是教学设计简练、流畅、新颖，设置二个不同的情景来探究完成本节课的教学标准，突出以学生为主体，教师主导者的身份帮助他们完成知识结构的建构；二是着力培养学生“数学核心”素养的提高，关注“数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、文化欣赏”各方面核心素养的渗透。

改进之处：一是由于时间关系，在这堂课中完成了知识结构体系的建构后，没有时间去梳理本章知识方法上的易混点、易错点，若时间充裕，可考虑布置一定数量的小题让学生在

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解题的过程中加以区分；二是现在11月份的PMI数据已经出来，再次上这节课时，可以通过网上链接比较学生自己的计算结果，让学生享受成功的喜悦．

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