习题3.2教案1

3.1.1

方程的根与函数的零点

教学时间：2006年10月21日星期四

教学班级：高一

班

教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数

2.让学生了解函数的零点与方程根的联系

3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用

4．培养学生动手操作的能力

教学重点：确定方程实数根的个数

教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象

教学方法：探讨法

教学过程：

引入问题

一元二次方程ax2bxc0(a0)的根与二次函数yax2bxc(a0)的图象有什么关系？

通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）：

1．函数零点的定义：

对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero point）.这样，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，故有

2．一般结论

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点

3．函数变号零点具有的性质

对于任意函数yf(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有

（1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数f(x)x2x3的图象在零点1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。

（2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。

4．注意点

（1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。

（2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。

5．勘根定理

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有即存在c(a,b)，使得f(c)0，f(a)f(b)0那么函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，2

这个c也就是方程f(x)0的实数根。

例1．求函数f(x)lnx2x6的零点个数。

分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：

（1）利用计算器或计算机作x,f(x)的对应值表；

（2）作出函数yf(x)的图象；

（3）确定yf(x)的单调性；

（4）若在区间[a,b]上连续，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)内有一个实数根；

（5）结合单调性确定其定义域内零点个数，即实数根个数。

结合计算机利用几何画板作出函数的图象观察。

2的零点所在的大致区间是（

）

x1A．（1，2）

B．（2，3）

C．(1,)和（3，4）

D．(e,)

e例2．函数f(x)lnx分析：从已知的区间(a,b)，求f(a)和f(b)，判断是否有f(a)f(b)0。

解：因为f(1)20,f(2)ln210，故在（1，2）内没有零点，非A。

又f(3)ln320，所以f(2)f(3)0，所以f(x)在（2，3）内有一个零点，选B。

32例3．若方程2axx10在（0，1）内恰有一解，求实数a的取值范围。

分析：令f(x)2axx1在（0，1）内恰有一解，则f(0)f(1)0，解出a。

解：令f(x)2axx1，因为方程在（0，1）内恰有一解，所以f(0)f(1)0，即221(2a2)0，解得a1。

例4．二次函数yaxbxc(a0)中，ac0，则函数的零点个数是（

）

A．1个

B．2个

C．0个

D．无法确定

分析：分析条件ac0，a是二次项系数，确定抛物线的开口方向，cf(0)，所以2acaf(0)0，由此得解。

解：因为cf(0)，所以acaf(0)0，即a与f(0)异号，即a0或f(0)0

a0

f(0)0所以函数必有两个零点，故选B。

练习：

教材第103页练习1、2题。

说明：练习1让学生自己动手操作，要启发学生将等号右边的项移至等号左边，然后将等号左边的代数式设为函数f(x)，再通过探究函数的零点去得出方程的根的情况。练习2要借助几何画板作出各个函数的图象判断零点所在大致区间。

作业：

教材第108页习题3.1A组题第2题