复习参考题教学内容概述

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椭圆问题中最值得关注的基本题型2.11 体验高考

x2y21.(2015·广东)已知椭圆＋2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于(

) 25mA.2B.3C.4D.9 x2y22.(2015·福建)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于ab4A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(

) 5A.0，3333B.0，4C.D.，1

22，14x2y23.(2016·课标全国丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.Pab为椭圆C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为(

) 1123A.B.C.D.

3234x2214.(2015·浙江)已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称. 22

(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).

x2y235.(2016·北京)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1. ab2(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.

1

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高考必会题型

题型一

利用椭圆的几何性质解题

x2y21例1

如图，焦点在x轴上的椭圆＋2＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意4b2→→一点，求PF·PA的最大值和最小值.

x2y2变式训练1

如图，F1、F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭ab圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若△AF1B的面积为403，求椭圆C的方程.

题型二

直线与椭圆相交问题

x2y22例2

(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，2)在C上. ab2(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

2

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x2y23变式训练2

椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为ab22. (1)求椭圆C的方程；

(2)设点P是椭圆C的一个动点，直线l：y＝33x＋与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值. 42

题型三

利用“点差法，设而不求思想”解题

x2y25例3

已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点. ab5(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；

(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.

x2y21变式训练3

已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)，焦点在直线x－2y－2＝0上，且离心率为. ab2(1)求椭圆方程；

(2)过P(3，1)作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程. 高考题型精练

11.(2016·课标全国乙)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离4心率为(

) 1123A.B.C.D.

3234x2y22.已知椭圆＋＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1，1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点，则|PA|＋|PF1|95的最大值是(

) A.6B.6＋22C.6－2D.6＋2 x2y23.已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，23)，当△APF的周长最大时，直线AP的方程为(

) 95A.y＝－3x＋23 3B.y＝3x＋23

C.y＝－3x＋23 3

D.y＝3x＋23 x2y24.如果椭圆＋＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是(

) 369A.x－2y＝0 B.x＋2y－4＝0

C.2x＋3y－14＝0 D.x＋2y－8＝0 3

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x2y25.设F1、F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2ab＝30°，则椭圆的离心率为(

) A.3311B.C.D.

3636x2y26.过点M(0，1)的直线l交椭圆C：＋＝1于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长最大时，直线l的43方程为______________. x2y2b7.(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，Cab2两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.

x2y2→→8.P为椭圆＋＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则PA·PB的取值范围是________. 9829.设椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，上顶点为A(0，2)，离心率为5. 5(1)求该椭圆的标准方程；

(2)设B1(－2，0)，B2(2，0)，过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程.

10.(2016·课标全国乙)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

x2y211.(2015·安徽)设椭圆E的方程为2＋2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，ab点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为(1)求椭圆E的离心率e；

(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，

证明：MN⊥AB. 5. 104

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椭圆问题中最值得关注的基本题型2.11 体验高考

x2y21.(2015·广东)已知椭圆＋2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于(

) 25mA.2B.3C.4D.9 答案

B 解析

由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3. x2y22.(2015·福建)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于ab4A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(

) 5A.0，3333B.0，4C.D.，1

22，14答案

A 解析

设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.

∵|AF|＋|BF|＝4，

∴|AF|＋|AF0|＝4，

∴a＝2. 4b4设M(0，b)，则≥，

55∴1≤b＜2. c离心率e＝＝a故选A. x2y23.(2016·课标全国丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.Pab为椭圆C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为(

) 1123A.B.C.D.

3234答案

A amamm解析

设M(－c，m)，则E0，a－c，OE的中点为D，则D0，2a－c，又B，D，M三点共线，所以＝2a－cm1，a＝3c，e＝. 3a＋cx2214.(2015·浙江)已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称. 22c2＝a2a2－b2＝a24－b23∈0，，

425

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(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点). 解

(1)由题意知m≠0，

1可设直线AB的方程为y＝－x＋b. m由1y＝－mx＋bx22＋y＝1，2

消去y，

1122b＋2x－x＋b2－1＝0. 得2mm1x224因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋2＞0，①

m2m2mbmb将线段AB中点Mm2＋2，m2＋2

1代入直线方程y＝mx＋，

2m2＋2解得b＝－，②

2m2由①②得m＜－66或m＞. 332166(2)令t＝∈－，0∪0，，

m223－2t4＋2t2＋2则|AB|＝t2＋1·，

12t＋2t2＋且O到直线AB的距离为d＝设△AOB的面积为S(t)，

11所以S(t)＝|AB|·d＝2212t2－2＋2≤. －22212. t2＋11当且仅当t2＝时，等号成立. 2故△AOB面积的最大值为2. 2x2y235.(2016·北京)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1. ab2(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值. 6

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c31(1)解

由已知＝，ab＝1. a22又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3. x22∴椭圆C的方程为＋y＝1. 4(2)证明

由(1)知，A(2，0)，B(0，1). x202设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y0＝1. 4y0当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，

x0－2－2y0令x＝0得yM＝. x0－22y0从而|BM|＝|1－yM|＝1＋x－2. 0y0－1直线PB方程为y＝x＋1，

x0－x0令y＝0得xN＝. y0－1x0∴|AN|＝|2－xN|＝2＋y－1. 0x0x0＋2y0－2x0＋2y0－21＋2y0＝∴|AN|·|BM|＝2＋y－1··

x0－2y0－10x0－2x0＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4＝4x0y0－4x0－8y0＋8＝4. ＝xy－x－2y＋2x0y0－x0－2y0＋20000当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，

∴|AN|·|BM|＝4. 故|AN|·|BM|为定值. 高考必会题型

题型一

利用椭圆的几何性质解题

x2y21例1

如图，焦点在x轴上的椭圆＋2＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意4b2→→一点，求PF·PA的最大值和最小值. 22

解

设P点坐标为(x0，y0).由题意知a＝2，

c1∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. a2x2y2所求椭圆方程为＋＝1. 43∴－2≤x0≤2，－3≤y0≤3. 7

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→又F(－1，0)，A(2，0)，PF＝(－1－x0，－y0)，

→PA＝(2－x0，－y0)，

121→→2∴PF·PA＝x0－x0－2＋y2＝x－x＋1＝(x0－2)2. 00044→→当x0＝2时，PF·PA取得最小值0，

→→当x0＝－2时，PF·PA取得最大值4. 点评

熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程. x2y2变式训练1

如图，F1、F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭ab圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若△AF1B的面积为403，求椭圆C的方程. 解

(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，

1a＝2c，所以e＝. 2(2)方法一

a2＝4c2，b2＝3c2，

直线AB的方程可为y＝－3(x－c)，

将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，

833得B(c，－c)，

55816所以|AB|＝1＋3·|c－0|＝c，

551由SAF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB

2183232＝a·a·＝a＝403，

2525x2y2解得a＝10，b＝53，所以椭圆C的方程为＋＝1. 10075方法二

设|AB|＝t，因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，

由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，

再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，

81t＝a，由SAF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB

52183232＝a·a·＝a＝403知，a＝10，b＝53，

25258

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x2y2所以椭圆C的方程为＋＝1. 10075题型二

直线与椭圆相交问题

x2y22例2

(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2，2)在C上. ab2(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. a2－b2242(1)解

由题意得＝，2＋2＝1，

a2ab解得a2＝8，b2＝4. x2y2所以椭圆C的方程为＋＝1. 84(2)证明

设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM). x2y2将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 84x1＋x2－2kbb故xM＝＝2，yM＝k·xM＋b＝2. 22k＋12k＋1yM1于是直线OM的斜率kOM＝＝－，

xM2k1即kOM·k＝－. 2所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 点评

解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式. x2y23变式训练2

椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为ab22. (1)求椭圆C的方程；

(2)设点P是椭圆C的一个动点，直线l：y＝33x＋与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值. 42

x2y23解

(1)∵椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，

ab2c3∴e＝＝，∴2c＝3a，即4c2＝3a2，

a2又∵过椭圆右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2，

9

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32a4c11∴2＋2＝1，∴2＋2＝1，

abab2即b2＝4，又a2－b2＝c2，

3∴a2＝b2＋c2＝4＋a2，即a2＝16，

4x2y2∴椭圆C的方程为＋＝1. 164(2)联立直线l：y＝33x＋与椭圆C的方程，

42y＝43x＋23，得xy16＋4＝122

消去y，

整理可得7x2＋12x－52＝0，

26即(7x＋26)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－，

72633∴不妨设A(2，3)，B(－，－)，

77则|AB|＝26332102＋2＋3＋＝19，

7773x＋C，L与l的距离就是P点到AB的距离，

4设过P点且与直线l平行的直线L的方程为y＝即△PAB的边AB上的高，只要L与椭圆相切，

就有L与边AB的最大距离，即得最大面积. 3x2y2将y＝x＋C代入＋＝1，

4164消元整理可得：7x2＋83Cx＋16C2－64＝0，

令判别式Δ＝(83C)2－4×7×(16C2－64)＝－256C2＋28×64＝0，

解得C＝±28×64＝±7. 256|－7－∴L与AB的最大距离为3|221927＋3，

1932＋14＝21927＋310110∴△PAB面积的最大值为×19×＝(27＋3). 27197题型三

利用“点差法，设而不求思想”解题

x2y25例3

已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点. ab5(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；

(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式. c5c21解

(1)由已知得b＝4，且＝，即2＝，

a5a510

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a2－b21∴2＝，解得a2＝20，

a5x2y2∴椭圆方程为＋＝1. 2016则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，

40消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，

9∴所求弦长|MN|＝1＋12|x2－x1|＝402. 9(2)如图，椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，

→→由三角形重心的性质知BF＝2FQ，

又B(0，4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，

即得Q的坐标为(3，－2). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，

22x1y1x2y222且＋＝1，＋＝1，

20162016x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2以上两式相减得＋＝0，

2016y1－y24x1＋x2466∴kMN＝＝－·＝－×＝，

5y1＋y25－45x1－x26故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，

5即6x－5y－28＝0. 点评

当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解. x2y21变式训练3

已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)，焦点在直线x－2y－2＝0上，且离心率为. ab2(1)求椭圆方程；

(2)过P(3，1)作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程. x2y2解

(1)∵椭圆2＋2＝1(a>b>0)，

ab焦点在直线x－2y－2＝0上，

∴令y＝0，得焦点(2，0)，∴c＝2，

c121∵离心率e＝＝，∴＝，

a2a2解得a＝4，∴b2＝16－4＝12，

11

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x2y2∴椭圆方程为＋＝1. 1612(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵过P(3，1)作直线l与椭圆交于A，B两点，

P为线段AB的中点，

∴由题意，x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，

xy16＋12＝1，2222x2y211＋＝1，1612

∴x2－x1x2＋x1y2－y1y2＋y1＋＝0，

1612y2－y19∴kl＝＝－，

4x2－x19∴l的方程为y－1＝－(x－3)，

4即9x＋4y－31＝0. 高考题型精练

11.(2016·课标全国乙)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离4心率为(

) 1123A.B.C.D.

3234答案

B 11解析

如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b. 42

在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，

1即cb＝a·b，代入解得a2＝4c2，

2c1故椭圆离心率e＝＝，故选B. a2x2y22.已知椭圆＋＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1，1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点，则|PA|＋|PF1|95的最大值是(

) A.6B.6＋22C.6－2D.6＋2 答案

D 解析

|PA|＋|PF1|＝|PA|＋2a－|PF2|≤2a＋|AF2|＝6＋2，

当P，A，F2共线时取最大值，故选D. 12

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x2y23.已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，23)，当△APF的周长最大时，直线AP的方程为(

) 95A.y＝－3x＋23 3B.y＝3x＋23 3C.y＝－3x＋23 答案

D D.y＝3x＋23 x2y2解析

椭圆＋＝1中a＝3，b＝5，c＝a2－b2＝2，

95由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′| ＝4＋6＋|PA|－|PF′|≤10＋|AF′| (A，P，F′三点共线，且P在AF′的延长线上时，取等号)，

xy直线AP的方程为＋＝1，

－223即y＝3x＋23，故选D. x2y24.如果椭圆＋＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是(

) 369A.x－2y＝0 C.2x＋3y－14＝0 答案

D 解析

设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

B.x＋2y－4＝0 D.x＋2y－8＝0 斜率为k，则xy36＋9＝1，2222x2y211＋＝1，369

x1＋x2y1＋y2两式相减再变形得＋k＝0，

3691又弦中点坐标为(4，2)，故k＝－，

21故这条弦所在的直线方程为y－2＝－(x－4)，

2整理得x＋2y－8＝0，故选D. x2y25.设F1、F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2ab＝30°，则椭圆的离心率为(

) A.3311B.C.D.

3636答案

A 解析

∵线段PF1的中点在y轴上，

设P的横坐标为x，F1(－c，0)，∴－c＋x＝0，

∴x＝c，∴P与F2的横坐标相等，

∴PF2⊥x轴，

1∵∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝|PF1|，

213

[键入文字]

2∵|PF2|＋|PF1|＝2a，∴|PF2|＝a，

32a|PF2|33tan∠PF1F2＝＝＝，

|F1F2|2c3ac3∴＝3，∴e＝＝. ca3x2y26.过点M(0，1)的直线l交椭圆C：＋＝1于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长最大时，直线l的43方程为______________. 答案

x＋y－1＝0 解析

设右焦点为F2(1，0)，则|AF1|＝4－|AF2|，|BF1|＝4－|BF2|，

所以|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝8＋|AB|－(|AF2|＋|BF2|)，

显然|AF2|＋|BF2|≥|AB|，

当且仅当A，B，F2共线时等号成立，

所以当直线l过点F2时，△ABF1的周长取最大值8，

此时直线方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0. x2y2b7.(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，Cab2两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.

答案

6

3x2y2＋＝1，a2b2解析

联立方程组by＝2，B－

解得B、C两点坐标为

3b3a，b，又F(c，0)，

a，，C22223b3b→→则FB＝－a－c，，FC＝a－c，，

2222→→又由∠BFC＝90°，可得FB·FC＝0，代入坐标可得：

32b2c－a＋＝0，

442

①

又因为b2＝a2－c2. c22代入①式可化简为2＝，

a3c则椭圆离心率为e＝＝a26＝. 33x2y2→→8.P为椭圆＋＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则PA·PB的取值范围是________. 9814

[键入文字]

答案

3，15] 解析

圆心C(1，0)为椭圆的右焦点，

→→→→→→PA·PB＝(PC＋CA)·(PC＋CB) →→→→→→→＝(PC＋CA)·(PC－CA)＝PC2－CA2＝|PC|2－1，

→显然|PC|∈a－c，a＋c]＝2，4]，

→→→2所以PA·PB＝|PC|－1∈3，15]. 29.设椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，上顶点为A(0，2)，离心率为5. 5(1)求该椭圆的标准方程；

(2)设B1(－2，0)，B2(2，0)，过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程. x2y2解

(1)设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，

abc2b24∵＝5，∴1－2＝，

a5a5b21即2＝，又∵b2＝4，∴a2＝20，

a5x2y2∴椭圆的标准方程为＋＝1. 204(2)由题意知直线l的倾斜角不为0，

故可设直线l的方程为：x＝my－2. 代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

4m16则y1＋y2＝2，y1·y2＝－2，

m＋5m＋5→→又B2P＝(x1－2，y1)，B2Q＝(x2－2，y2)，

→→所以B2P·B2Q＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2

16m2＋116m216m2－64＝(m＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－－2＋16＝－2，

m2＋5m＋5m＋52→→由PB2⊥QB2得B2P·B2Q＝0，

即16m2－64＝0，解得m＝±2，

∴直线l的方程为x＝±2y－2，即x±2y＋2＝0. 10.(2016·课标全国乙)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 解

(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 15

[键入文字]

x2y2由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0). 43(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2). y＝kx－1，22由xy得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 4＋3＝14k2－128k2则x1＋x2＝2，x1x2＝2，

4k＋34k＋312k2＋1所以|MN|＝1＋k|x1－x2|＝. 4k2＋32

1过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，

k点A到m的距离为2，

2k＋14k2＋3. k2＋111＋2. 4k＋3所以|PQ|＝222＝44－2k＋121故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝122可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83). 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12，83). x2y211.(2015·安徽)设椭圆E的方程为2＋2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，ab点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为(1)求椭圆E的离心率e；

(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，

证明：MN⊥AB. 2ab(1)解

由题设条件知，点M的坐标为3，3，

又kOM＝5b5，从而＝. 102a105. 10c25进而a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝＝. a5aba5b→，－，可得NM＝，，

(2)证明

由N是AC的中点知，点N的坐标为2266→又AB＝(－a，b)，

151→→从而有AB·NM＝－a2＋b2＝(5b2－a2). 666由(1)的计算结果可知a2＝5b2，

→→所以AB·NM＝0，故MN⊥AB.

16