信息技术应用 借助信息技术方程的近似解特级教师教学实录

1.3.1二项式定理

教材分析

《二项式定理》是在初中多项式运算基础上的延伸和深入，初中采取多项式运算展开，然后合并同类项，只是学了几个公式，我们现在上升的定理的高度，将二项式(a＋b)n的展开推广到一般的形式(n∈N+)。本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明本教材用到了计数原理（也可以用数学归纳法），可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面也为后面学习随机变量及其分布做准备；由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处。总之，二项式定理是综合性较强，能联系不同数学知识，可以在不同知识的交汇处命题。

二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“特殊→一般”。与以往教科书比较，不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b)2、

(a＋b)3 、(a＋b)4展开式的项的特征进行分析，从而采取同样的证明方法得到(a＋b)nn1n－1n－22n－kknn＝C0b＋C2b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(n∈N+)。

na＋Cnanana课时分配

2课时。

1.3.1 二项式定理（第一课时）

教学目标

1．能用计数原理证明二项式定理；

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；

3．培养学生的归纳思想、化归思想；

4．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力。

重点难点

教学重点：用计数原理分析(a＋b)2、

(a＋b)3 、(a＋b)4的展开式，得到二项式定理。

教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程。

教学过程

引入新课

我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：

(1)两个计数原理的内容是什么？

(2)排列的定义与排列数公式是什么？

(3)组合的定义与组合数公式是什么？

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活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学。

提问学生完成（时间3分钟）：

(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

(2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．Amn＝n(n－1)(n－2)…(nn！－m＋1)＝. (n－m)！(3)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．Cmn＝n！。

m！(n－m)！设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础。

进入新课

引例：1．乘积a1a2a3b1b2b（提问学生）

c1c2c3c4c5有___项.3

2.（a+b)展开有几项？每项的次数是多少？合并后是几项？(a＋b)3呢？（提问学生）

提出问题：如何利用两个计数原理得到(a＋b)2，(a＋b)3的展开式？

活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)展开后每项的次数是多少？按a的降幂排列有哪些项？(2)每项的的系数是多少？学生先独立思考，允许小组合作。

02122 活动成果：

⑴(ab)2a22abb2C2aC2abC2b

2n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝m！0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

设计意图：引导学生将(a＋b)2与(a＋b)3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数。

提出问题1： (a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式各项都是几次式？

回答：4次；

提出问题2：展开式按a的降幂排列应有哪些形式的项？回答：

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a4 ,a3b.a2b2,ab3,b4

提出问题3：a4 ,a3b.a2b2,ab3,b4的系数分别是多少？（提问学生）

师生共同探究：

0 上面4个括号中，每个括号都不取b，即取0个b(也就是都取a)有C4种，a4011的系数是C4；恰有1个取b的情况有C4种，a3b的系数是C4，恰有2个取b的情2233况有C4种，a2b2的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab3的系数是C4，44有4都取b的情况有C4种，b4的系数是C4，

04132223344∴(ab)4C4aC4abC4abC4abC4b

设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法。

n提出问题2：根据以上展开式，你能猜想一下(a＋b)的展开式是什么吗？

活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论。

设计意图：通过学生对(a＋b)n展开式的猜想，提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣。

师生共同完成下式，并对所给答案给出说明：

(a＋b)n＝(_)an＋(_)an－1b＋(_)an－2b2＋…＋(_)an－kbk＋…＋(_)bn(n∈N+) 活动设计：先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一项的形式及其相应的个数，学生之间可以相互求助、辩论。

活动成果：(1)(a＋b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：an，an－1b，…，an－kbk，…，bn.

(2)展开式各项的系数：

展开后共有n个（a+b）相乘，即：

n0每个括号内都不取b，即取0个b(也就是都取a)有C0n种，a的系数是Cn；

n－1恰有1个取b的情况有C1b的系数是C1n种，an，…，

rn－kk恰有r个取b的情况有Cn种，ab的系数是Ckn，…，

nn有n个都取b的情况有Cnn种，b的系数是Cn，

n1nkn－kkn∴(a＋b)n＝C0b＋…＋Cnna＋Cnab＋…＋Cnanb(n∈N+)，

这个公式叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式。

呈现二项式定理——

n1n－1n－22n－kknn(a＋b)n＝C0b＋C2b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(n∈N+)（板书）

na＋Cnanana 设计意图：得出二项式定理，体会二项式定理的形成过程，理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的．由于这是本大节的起始课，按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始，通过这样的原则与模式进行设计，而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终，使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的，这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图，是学有目标，研有方向，胸怀全局，先见森林再见树木的学习，其学习效果是不言而喻的。

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理解新知

提出问题1：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？

活动设计：学生自由发言，教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导。

活动成果：

(1)它有n＋1项，各项的系数Ckn(k＝0,1，…n)叫二项式系数；

(2)各项的次数都等于二项式的次数n. 设计意图：加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解。

提出问题2：二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？

活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导。

活动成果：(板书) (1)字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n，一般展开各项的顺序固定，不能随便变换。

n－kkn－kk(2)Ckb叫二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项Tk＋1＝Ckb，注意n、knana的范围：n∈N+，k＝0,1，…n。

(3)字母a，b可以是数，式子或其他。

设计意图：由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。

运用新知

例1 展开(1+x)10（提问学生）

例2 展开(1-x)10 （提问学生）

设计意图：记忆公式正确应用公式，由易到难。以上两个简单例题，教师引导，学生完成，提问学生，检验课堂效果，教师巡视，发现问题及时解决。

例3 求(2x－16)的展开式

x先让学生自主练习，然后教师给出学生可能的三种（直接展开；化为分数指数幂再展开；先化简再展开）展开方法，说明有的二项展开式可以先化简再展开。

设计意图：记忆公式，合理应用公式。

提出问题：公式运用时要注意什么？

活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导。

活动成果：正确合理运用公式；注意运算的准确性。

162x－1611652（教师板书）(2x－)＝()＝3(2x－1)＝3[(2x)6－C16(2x)＋C6xxxx

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34251632(2x)4－C36(2x)＋C6(2x)－C6(2x)＋C6]＝64x－192x＋240x－160＋60121－＋. xx2x3巩固新知

求(1＋2x)7的展开式（提问学生）

设计意图：进一步熟练记忆和运用公式；检验课堂教学效果。

课堂小结

1．知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。

2．方法收获：计数原理的再应用。

3．思维收获：归纳思想、化归思想；从特殊到一般，再从一般到特殊的认知规律。

课后练习

反馈提高

1．求(2a＋3b)6的展开式中的第3项；

2．求(3b＋2a)6的展开式中的第3项的系数；

3．用数学归纳法证明二项式定理。

板书设计：

略

教后反思：

略

设计说明

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(a＋b)4为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(a＋b)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．

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