实习作业PPT配套教学设计内容

函数的应用-------实习作业

缙云中学 丁科斐

一、教学目标：

知识目标：通过大量实验数据分析，理解函数知识在解决实际问题中的应用。

能力目标：通过学生解决实验的学习过程中所遇到的问题，培养学生应用数学的意识，

培养学生运用已学的函数知识解决实际问题的能力。

情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生合作交流的能力与意识。

二、教学重点和难点：

重点：使学生经历探求水温下降规律的整个过程，体验数学建模的思想方法，同时进一步培养学生运用信息技术解决实际问题的能力。

难点：培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。

三、教学过程：

（一）引入

姆潘巴在坦桑尼亚的马干巴中学读三年级时，校中的孩子们做冰淇淋总是先煮沸牛奶，待到冷却后再倒入冰盘，放进电冰箱。为了争得电冰箱的最后一只冰盘，他决心冒着弄坏电冰箱的风险而把热牛奶放进去了。一个多小时以后，当他打开电冰箱时，里面出现了惊人的奇迹:他的冰盘里的热牛奶已结成坚硬的冰块，而它们的冰里还是稠稠的液体。于是他飞快地跑去问物理老师，老师淡淡地回答说:"这样的事一定不会发生。" 请同学们想一想：姆潘巴观察到的现象会发生吗？

问题：

将沸腾的水倒入水杯中，在室温26.5oc下放置，经过多长时间，水温会降到36.5？

设计意图：从具体案例和问题出发引出课题，使学生认识到函数在实际生活中有着广泛应用。同时一方面也是检查学生的课前准备状况，另一方面提出本节课要解决的问题。

（二）制定实习方案

1、方法确定：通过实验获取数据

2、所需用具及材料：温度计（100c的温度计4支）、

开水、500ml、1000ml的烧杯各2个、支架、石棉网、酒精灯、计算器、计算机

3、实施方式：小组合作、自主探究

4、地点：微格教室（有电脑、投影仪，摄像机）

（三）准备用具、数据采集

（1）准备实验所需：开水、温度计时器

先将盛水的水杯和温度计进行预热，然后将沸腾的水倒入杯中，再把温度计放入水中。（注意：既要保持室内空气流通，又不能把水杯放在风口处，以免受风吹的不定因素影响水温变化的波动。温度计应挂在支架上，不让温度计紧贴杯壁，也不应接触底部，以免测不准温度。

（2）课前准备：全班分4个小组：在室温26.50c下，2个小组用500ml的烧杯装有500ml的水从90oc降到50oc，每隔6分钟记录温度。另外2个小组用1000ml的烧杯装有500ml的水从90oc降到36.5oc，每隔6分钟记录温度。

（3）数据采集

（注：每隔6分钟读一次数据，读数时视线要平视）把采集的数据填入下表：（注：以下所填温度为学生课前于26.5oc室温下实验所测温度，填入表内是为便于上课）

小组一：在室温26.5oc下，用500ml的烧杯装有500ml的水从90oc降到50oc，每隔6分钟o

身高/cm

体重/kg

60 6.13 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 7.9 9.99 12.15 15.02 17.5 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)根据表中提供的数据，能否从我们已学过的函数,yalnxb,yaxb,yabx中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试求出这个函数解析式

（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175cm，体重为78kg，他的体重是否正常？

解决过程：作出散点图——分析图象特征——观察、

选择模型

（1）以时间为横坐标，温度为纵坐标，建立直角坐标系，描点画出水温的变化图象.

（2）从所给学函数模型中选择一个能基本反映该变化过程的水温y关于时间x的函数关系式，并作出函数图象，与描点画出的图象进行比较

方法一（计算器拟合函数）：选择模型、代点、联立方程以点（70，7.90），（160，47.25）为例

7.90ab70a21.选择yab,,由计算器可得：16047.25abb1.02

x得到函数模型：y21.02x

7.9070aba0.4372.选择yaxb,47.25160abb22.69

得到函数模型：y0.437x22.69



3.选择yalnxb，方法二(计算机拟合函数) ：

以身高(单位为厘米)为横坐标，体重（单位为千克）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，用计算机分析函数图像与散点图的“吻合”程度，“吻合”程度越高则所选择的函数

就越好，然后确定选择函数模型，根据实际情况再对函数模型进行修正。

设计意图：通过回顾上节课可以得出函数拟合有两种方法：计算器拟合函数和计算机拟合函数。选择哪种函数类型来拟合是本实验的一个难点，通过观察拟合出来的曲线与散点图的“吻合

”程度，再进行一些理性分析可以确定选哪种函数类型比较好。

数据分析、处理：

问题：将沸腾的水倒入水杯中，在室温26.5oc下放置，经过多长时间，水温会降到36.5oc？

小组一：在室温26.5c下，用500ml的烧杯装有500ml的水从90c降到50c，每隔6分钟记录温度。

时间（分钟）

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 ooo温度0c 84.5 79.5 o74.5 70.5 67 64 61.5 59 56.5 54.5 52.5 50 oo小组二：在室温26.5c下，用500ml的烧杯装有500ml的水从90c降到50c，每隔6分钟记录温度。

时间（分钟）

温度0c 时间

（分钟）

温度0c

50

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 85

80.5

76

72 68.5 65.5 63 60.5 58 55.5 53.5 51.5

76 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 小组一

小组二

分析与建模：要确定水温变化时间，需找出温度随时间变化的函数关系式，把所需水温代入，就能算出相应时间。通过描点、画图，可以初步确定函数模型为指数函数模型，猜想并验证：

为经过t分钟后的温度)

0(10)ekt(0为室温，1为初始温度，小组一：

时间6 （分钟）

12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 温度84.5 79.5 74.5 70.5 0c 67 64 61.5 59 56.5 54.5 52.5 50 k 0.010.0150.01550.01520.01490.01460.01410.01390.01380.01360.01350.013509 06 4 8 9 3 8 5 8 4 2 8

（其中k(ln0)(t)）,k的平均值为0.01446.

10小组二：

时间（分钟）

温度0c

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 85 80.5 76 72 68.5 65.5 63 60.5 58 55.5 53.5 51.5 k 0.01360.00.01380.01380.01370.0130.01310.01300.01300.01300.01290.01296 135 7 9 8 9 8 5 1 6 5 5 时间（分钟）

温度0c

76 50 k 0.01308

k平均值为：0.01338，结合两个小组取k= 0.01392 26.5(9026.5)e0.01392t26.563.5e0.01392t

小组三：在室温26.5c下，用1000ml的烧杯装有500ml的水从90c降到36.5c，每隔6分钟记录温度。

时间（分钟）

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 ooo温度0c 78

69.5 61.8 56.8 52.5 49 45.5 42.5 40.5 38 36.5

小组四：在室温26.5c下，用1000ml的烧杯装有500ml的水从90c降到36.5c，每隔6分钟记录温度。

时间（分钟）

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 ooo温度0c 80

71 62.5 57 52 48 44.5 41.5 38.5 36.5

小组三：在室温26.5oc下，用1000ml的烧杯装有500ml的水从90oc降到36.5oc，每隔6分钟记录温度。

时间（分钟）

温度0c k 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66

78 69.5 61.8 56.8 52.5 49 45.5 42.5 40.5 38 36.5

0.0310.03240.03260.0300.0290.0280.0280.0280.02790.0280.027

7 8 2 82 76 82 73 71 9 47 26 k平均值为：0.02976 小组四：在室温26.5c下，用1000ml的烧杯装有500ml的水从90c降到36.5c，每隔6分钟记录温度。

ooo

时间（分钟）

温度0c k 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

80 71 62.5 57 52 48 44.5 41.5 38.5 36.5

0.0280.02960.03150.03050.03040.03000.0300.0300.03080.03081

55 2 2 5 1 8 01 06 5 k平均值为：0.030246，结合两个小组取k=0.03 26.5(9026.5)e0.03t26.563.5e0.03t

0(10)ekt

(0为室温，1为初始温度，为经过t分钟后的温度),称为牛顿冷却模型.是牛顿在1701年用实验确定的，在强制对流时与实际符合较好，在自然对流时只在温度差不太大时才成立。 从1、2小组与3、4小组所做的实验中可知，不同条件k是不同的，与水和烧杯的接触面积、水的体积、室温、初始温度有关。

由1、2小组可知：26.563.5e0.01392t，当36.5时，t132.79（分钟）

由3、4小组可知：26.563.5e0.03t，当36.5时，t61.（分钟）5设计意图：通过计算机拟合函数分析出大致的数学函数模型，然后根据实际问题再对函数模型进行修正，得出数学函数模型。由1,2小组与3,4小组求出的k值可知，不同条件下的k值是不同的，同一条件下的k值是固定不变的。

学习了牛顿冷却模型后，姆潘巴观察到的现象我们能解释吗？

1.冷却的快慢不是由液体的平均温度决定的，而是由液体上表面与底部的温度差决定的，热牛奶急剧冷却时，这种温度差较大，而且在整个冻结前的降温过程中，热牛奶的温度差一直大于冷牛奶的温度差。

2.上表面的温度愈高，从上表面散发的热量就愈多，因而降温就愈快。

基于以上两方面的理由，热牛奶以更高的速度冷却着，这便是热牛奶先冻结的秘密。

运用牛顿冷却定律解决实际生活中的下列问题：

1.一杯开水的温度降到室温大约需要多少时间？

答：一般情况下，开水的温度是100℃，室温是37℃， 所以一杯250ml的开水冷却至室温大约需1—2h。

2.应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？

答：运用牛顿冷却定律可知，炒菜之前大约10min应将冰箱里的肉拿出来解冻，这样既有利于切又能保持肉味的鲜美，所以运用科学知识，来解决我们的生活常事，能使我们养成良好的生活习惯，利于我们的身体健康。

3.在寒冷的冬季,是冷水管容易结冰,还是热水管容易结冰？

答：运用牛顿冷却定律可知，热水管比冷水管先结冰，如果从［Mpembe效应］的蒸发角度看，在热水冷却到冷水的初温的过程中热水由于蒸发会失去一部分的水，质量较少，令水较容易冷却和结冰，这样热水就可能较冷水早结冰，但冰量较少，从溶解气体对流和周围事物等方面考虑，热水管较冷水管先结冰。

设计意图：这几个问题看起来有点复杂，但通过本节课的学习，学生用牛顿冷却模型很快就可以解决。特别是第3问，很多学生会被这个问题吸引，学生的求知欲被调动起来，使

学生增长了见识。由此可见，任何活动都少不了人的情感，只要激发了学生学习的兴趣，他们便能体会到数学知识在实际生活中的应用，也能真正地认识数学的价值所在，学生的学习兴趣也就提高了。

（五）实习小结

1、实习作业的基本步骤

2、函数模型拟合：

方法1：选择模型、代点、联立方程、用计算器求解

方法2：选择模型、用计算机拟合出该函数图象、通过改变常数值使图象尽可能经过散点图, 即为所需模型

3、实习作业应注意的事项：

实事求是、亲自实践、合作互助

（六）课后思考

（1）开水降温这一现象是否还蕴含其它数学问题？

（2）如何从理论上说明你们小组所得模型较为理想？

（3）现实生活中，只有开水降温这一现象蕴含数学问题吗？

实习作业

1.在室温下，冰块融化为水的过程中，杯中水的质量随时间的变化函数关系式。在室温下，500克的冰，多长时间会完全融化为水。

2.通过调查缙云永宁路与鼎湖路（缙云电信局旁的十字路口）交叉路口各个方向机动车辆流量，确定各个方向红绿灯时间如何分配可使单位时间内车流量最大，从而在一定程度上改善交通阻塞现象。

设计意图：学生通过实践活动，了解一些生活常识、社会常识，开拓视野，从而更好地理解一些数学应用问题，增强了应用数学的意识。除了实习作业问题外，还可以引导学生观察身边的各种现象，如：建筑模型、经济、军事、交通运输等，从中发现数学问题，让学生意识到数学无处不在。