小结教学设计一等奖

教学设计

一、考情分析

在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题．

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考中也得到了加强，其发展趋势不容忽视．

二、思想方法概述

1.数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”

，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．

2.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

三、教学目标

知识与技能目标：

理解“数形结合”思想在高中解题中的重要应用，并能掌握解决此类问题的基本技能．

过程与方法目标：培养分析、解决问题的能力，体验“数形结合”思想在高中数学中与“函数”，“方程”，和“不等式”的具体应用. 情感、态度与价值观：

(1)在探究过程中，鼓励学生大胆猜测，大胆尝试，培养学生勇于创新、敢于实践的个性品质．

(2) 通过对问题的探究，理解事物间普遍联系与辩证统一观点，体验成功的喜悦．

四、教学重点、难点

重点：理解“数形结合”思想的实质，有效掌握该类问题的基本技能.

难点：如何构“形”解决抽象的“数”的问题，如何借助“数”的计算将“形”精细化．

五、教学方法

教学方法：充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则. 这有利于学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力.

教学手段：通过各种教学媒体（计算机）调动学生参与课堂教学的主动性与积极性.

教具准备：多媒体课件PPT展示，几何画板.

六、教学过程

引例：AB是圆的直径，点C是AB上任意一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD。你能利用这个图形，得出不等式ab

理由：由图易知，ACD∽DCB，因而CDab(a0,b0)的几何解释吗？

2ab，由于CD小于或等于圆的半径OD，用不等式即

可表示为：ab

ab

，显然，上述不等式当且仅当点C与原点O重合，即ab时，等号成立.

2D

设计意图：

善于以数思形，正确构造图形，通过几何模型反映相应代数信息，一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数关系比较抽象，

因此，

若能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借A助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径. 精心设计问题串引入新课，能够集中学生注意力、引发学生思考、激发学生兴趣、产生学习动机、建立知识联系、明确教学目标，使学生的求知欲由潜伏状态OCBE进入活跃状态，为学习新知识、新概念、新技能作铺垫，收到事半功倍的效果.同时在问题后给出课题更显得贴切、自然.

著名数学家华罗庚先生对数形结合做出了精准的评论：

数缺形时少直觉，

形少数时难入微。

数形结合百般好，

隔离分家万事休。

例1.

实系数一元二次函数f(x)x2ax2b

的一

个零点在

(0,1)内，另一个零点在(1,2)内

，试求b2的取值范围. a1f(0)0b0解：由题知：

f(1)0，即a2b+10，建立平面直角坐标系aob，作出不等式组所表示的可行域.f(2)0ab20y 如图所示：

x O

分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义，转化为几何问题．

22思考探究：（1）求(a1)(b2)的取值范围

（2）求|ab1|的取值范围

【规律方法】

如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：

(1)ykxb中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．

(2)bn表示坐标平面上两点(a,b),(m,n)连线的斜率．

am22(3)(am)(bm)表示坐标平面上两点(a,b),(m,n)之间的距离．

只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．

设计意图：一个似乎是纯代数的问题，在“形”的引导下获得了最好的解决方式，这种由表及里，数中有形的思想方法，正是数学中“数形结合”的思想方法在解决问题中的具体体现．

解题体会：1. 数和形能和谐统一！

2. 穷则变，变则通！

跟踪训练：已知ab10,求(a1)2(b1)2的取值范围.

法1.ab10,ab1

y 原式=(a1)2(b1)2(b2)2(b1)22b2b5

199f(b)2b2b52(b)2

222法2.

ab10,ab1

原式=(a1)2(b1)2(ab)22(ab)22ab252ab

又ab(O A x ab29）ab1，原式

22()xy10

()∙法3.如图，点P(a,b)在直线xy10上，点(1,1)到直线xy10的距离为|111|12123

2构造距离公式，对比得出数形结合的优越性

例2.<小题热身>已知函数f(x)|x2|,g(x)ax,若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根,则实数a取值范围是

用动画演示动直线yax的变化，使之与y|x2|有两个交点。重点让学生

观察临界情况。

xy

()()∙∙∙<体会思想，触类旁通>已知函数f(x)|x25x4|,xR,若方程f(x)ax0有四个互异的实根,则实数a取值范围是

.

基本思想同上题，用动画演示动直线yax的变化，使之与y|x25x4|有交点。重点让学生观察临界情况。

Oy四个xyx25x4联立方程组，得x2(a5)x40,(a5)2160

yax即a210a90a1或9.显然，a9不成立. 设计意图：将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性使问题化难为易，化抽象为具体.

由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通中知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都有很大帮助.

解题体会：定式 定形 定界 定解

<互动探究> 例3.

函数f(x)2xx2(xR)的零点个数是几个？

解题体会：数缺形时少直观，形缺数时难入微。

设计意图：本节通过分组讨论让学生在轻松愉快的气氛中以合作与交流的方式来学习并运用所学知识.同时也丰富了学生生活，促进了他们在整个教学活动中主动参与，培养了他们积极的情感态度，也提高了他们的综合解题能力.同时强调画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．

七、小结归纳与板书设计

小结归纳：（1）本节课强化了哪一种数学思想？它包含几个方面？

（2）数形结合思想具有怎样的优越性？

（3）在以后的学习中你应该注意哪些方面？

板书设计：例1

例3

例2

小结

设计意图：一节课的结束，并不意味着教学内容和学生思维的终结。“学贵有疑”，有疑就对知识有“学而不厌”的追求。在课堂结束时，充分利用课堂的核心内容设计总结问题串，可培养学生独立探究新知识、自我归纳和反馈的能力。

八、课后练笔

1.若xR,|x2a|1x(a1)恒成立，则实数a取值范围是

.

2x22x,(x0)2. 已知函数f(x)，若|f(x)|ax,则实数a取值范围是

.

ln(x1),(x0)23.

函数f(x)4cosxcos(x)2sinx|ln(x1)|的零点个数

.

22

最后以一首小诗结束：由数思形找思路

以形想数求精准

数形若能巧结合

解题自然顺风帆

课后反思:数形结合思想在高中学习阶段有着重要意义，在教学过程中教师要遵循学生学习规律由浅及深的教学。本课体现了“自主、合作、探究”的学习方式，能使同学们积极的参与到课堂学习及活动中去。帮助学生组织知识结构，构建认知结构。让学生有兴趣，有意义的学习。而学生在学习理解数形结合思想的同时，要自主了解数形结合这一数学思想的发展背景等，熟练灵活的运用这一思想去解决学习中、生活中的问题。