复习参考题教学设计第二课时

高考中常出现的直线与圆锥曲线的相关问题

【摘

要】圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，也是高考的必考内容。而直线与圆锥曲线的交汇与整合尤其受到命题者的青睐，因为这部分内容涵盖了解析几何的主题内容，而又可以与代数中的方程、不等式、三角及向量和参数方程相整合，因而成了高考的热点。尽管这种题我们花很多的时间来练习，但得发率还是很低。特别对于我们基础不好的同学那更是难，读完题目他们不知道任何下手，就算有一点思路，但由于他们的运算能力差，也很难拿到分。针对这些情况我给学生总结了以下这些常出现的问题，及解决的方法和技巧。

直线与圆锥曲线所产生的数学问题(如直线与圆锥曲线的位置关系问题,直线与圆锥曲线的相交弦问题等),能从圆锥曲线的本质出发,以代数思维加以归纳分析进行解题,本文将就以上问题的求解过程进行系统的分析、归纳。

【关键词】

圆锥曲线

公共点

韦达定理

相交弦 弦中的

曲线系

圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线,通过直角坐标系,它们又与二次方程对应,所以,圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一,它们与直线的位置关系的判定,弦长的有关计算、证明等也是高考命题的热点。现从以上两方面作出归纳分析。

1、利用圆锥曲线的定义处理的问题

在处理直线与圆锥曲线的相关问题是，往往离不开圆锥曲线的定义，

一是依圆锥曲线的定义来确定相关的特征量，二是涉及离心力问题要用到圆锥曲线的统一定义。因此圆锥曲线定义是解决圆锥曲线问题的重要工具。

2、

直线与圆锥曲线的位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离。由二次曲线的本质,可从它们的方程组解的情况来确定属哪种关系。由方程组消元后得到形式上的一元二次方程,必须讨论二次项的系数是否为零.若不为零,再通过判别式△讨论根的个数,从而得到直线与圆锥曲线的相交、相切或相离位置关系的判定;若二次项系数为零,消元后的方程实际上是个一次方程,通过讨论它是否有满足方程组的根,进而得知直线与圆锥曲线相交(方程组有一解)或相离(方程组无解)。操作如下:

1.1 联立直线方程与曲线方程,得方程组Ax+By+C=0F(x,y)=0

1.2 方程组消去y(或消去x)得到关于x的方程:ax2+bx+c=0(或关于y的方程ax2+bx+c=0)

1.3 判断第二步中方程的解的个数。

1.3.1 若a=0,且b=0,则方程无解,此时,直线与圆锥曲线相离。

1.3.2 若a=0,且b≠0,即得一元一次方程bx+c=0,方程仅有一解,此时,直线与圆锥曲线相交。

1.3.3 若a≠0,即得一元二次方程ax2+bx+c=0,其中△=b2-4ac.①△>0?则方程有两解?则直线与圆锥曲线相交于不同两点;②△=0?则

方程有一解?则直线与圆锥曲线相切;③△<0?则方程无解?则直线与圆锥曲线相离。

值得注意的是:对于抛物线来说,平行或重合于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切。因此直线与抛物线、双曲线仅有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件。

例1:直线l过点( ,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,这样的直线有()

A、1条B、2条C、3条D、4条

分析:正确选项是C,除了通过右顶点( ,0)垂直于

x轴的切线x= 外,还应有通过右顶点( ,0)平行于渐近线且斜率为k±1 的两条直线。

2 直线与圆锥曲线的相交弦问题

直线与圆锥曲线的相交弦问题往往涉及中点弦、弦长或其它综合性问题,可利用联立方程组消元后所得一元二次方程中根与系数关系(韦达定理)对相交弦问题设而不求(如例3)、整体处理。操作如下:

2.1 设线(直线和圆锥曲线的方程)设点(弦端点坐标)

2.2 联立直线方程与圆锥曲线方程,由方程组消元得:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)

2.3 由韦达定理知根与系数的关系:x1+x2=- ,x1x2=- ;且须满足a≠0△>0

2.4 将题设条件翻译成关于弦端点的坐标条件,然后整体代入韦达定理,从而求出所设参数,最后检验是否满足a≠0△>0.第四步中常常用到下列公式:

弦的斜率:kAB= ;弦中点坐标: x0= y0=

弦长公式:AB= ·x1-x2= ·

= 或AB= ·y1-y2= ·

=

例2:O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点。①写出直线l的方程;②求x1x2与y1y2的值;③求证:OM⊥ON.

分析:①已知点P(2,0)且斜率为k的直线可得方程为y=k(x-2)k≠0;②联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得:kx2-(4k2+2)x+4k2=0,由韦达定理知根与系数的关系:x1x2= 得x1x2=4;同理,可得y1y2=-4;③证OM⊥ON即证kOM·kON=-1,从题目条件可知:kOM·kON= ·

,结合②解可得:kOM·kON= = =-1,从而得证。

另外,解圆锥曲线与弦的中点或中点弦的问题,除利用韦达定理外,也可以运用点差法。

例3:过椭圆

+ =1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求此弦所在直线的方程。

分析:设弦所在直线的方程为y-1=k(x-2),其中k待定。

设弦与椭圆的交点为C(x1,y1)、D(x2,y2),从点M(2,1)平分弦可得:x1+x2=4,y1+y2=2,且点C、点D满足方程

+ =1,得:x+4y=16……①;x+4y=16……②;②-①:x-x+4(y-y)=0;4(x2-x1)+4·2·(y2-y1)=0; = ,即k= 得直线方程x+2y-4=0.

总之,在处理直线与圆锥曲线的相关问题过程中,要加强对基础知识的综合运用,重视圆锥曲线是二次曲线的本质,以代数的角度出发将问题转化为对一个二元一次方程与二元二次方程组成的方程组的解的研究,如若能数形结合,借助图形的几何性质则更为简

便。

由于概率统计自身科学特点的原因，概率统计与数学期望类的题在近两年高考中大量涌现，成为高考的重点和热点。概率问题是高中数学的一个重要组成部分，也是高中数学教学中的一个重点和难点。就概率问题而言，教师在引导学生进行分析和解决问题的过程中，往往需要从确定性问题转到不确定性问题，这与学生以前所接受到的数学思想和数学方法

有较大的冲突，容易在学生学习过程中造成高中概率知识抽象难懂的印象，导致学生学习积极性受挫，最终形成数学学习的“盲点”，影响学习成绩。

一、提高学生学习知识的积极性

1.在课堂教学中融入概率发展历史。教师在概率知识教学过程中可以适当地引入概率发展历史来提高学生学习概率知识的积极性。就当今数学的发展历程而言，大概可以分为三个阶段：第一个阶段是从算数数学发展到代数数学；第二个阶段是从常量数学发展到变量数学；第三个阶段是从确定数学发展到随机数学。也正是在第三个阶段，统计与概率作为一门独立的科学真正从数学当中分离出来，并随着后续的社会实践得到了较大的发展。概率知识最早的应该可以追溯到18 世纪，天文学成为引导当时社会发展的主要潮流，但人们在天文观测时由于受技术条件的干扰很难对天文数学做出精确计量，每次的数学测量都存在数学误差，影响后续研究。在这种情况下，德国著名数学家高斯率先将概率学当中的正态分布引入到天文学的研究当中，通过正态分布很好地“拟合”了误差分布，精确了天文学观测数据，对当时社会科学的发展起到了重大的推动作用。通过这样一些话题的引入，一改单调枯燥的数学上课模式，以故事叙述的形式将概率发展历史引入到课堂教学中来，增加课堂趣味性，提高学生对于概率知识学习的积极性。 2.在课堂教学中强调概率学习的重要性。从大的方面来讲，数学教学应该从掌握数学知识，具备数学能力，体会数学思想，应用数学方法四个方面进行着手，概率知识作为高中数学的一个模块，自然也要遵守教学要求。作为一门不确定性科学，概率问题的研究就是要从不确定内容中找出确定规律，通过科学、有效的数学方法对整体情况进行较为准确的分析估计，最终得出与实际情况相符的结论。教师在教学过程中要注重培养学生的辩证思想和归纳方法，以实际生活当中的事例为证，引导学生通过实践活动来验证统计规律，并能够以统计规律为理论依据对现实中的问题进行合理的指导和解释。

二、转变认识，提高教学方法的科学性

传统的概率教学只是以古典概率为基础进行知识和定义的讲解，忽略概率学习的方法性和它与现实生活的意义。其实高中概率是一门非常注重思想方法的学科，如随机思想、相关独立思想以及样本估计思想等思想方法都是教师在概率教学中应该向学生强调的教学内容，同时教师还应该不断引导学生认识概率学***量实验活动的重要意义，鼓励学生亲自参与这些活动，引导学生通过实验活动来寻找偶然事件背后真正的规律，掌握概率学习方法。

1.改革传统的数学教学模式。传统教学模式中教师以黑板和粉笔作为主要的授课工具，受到工具的制约，教师在概率教学中往往不能有效地进行实例活动演示。随着现代教育技术的发展，特别是多媒体技术的不断成熟，教师在课堂上可以运用的教学工具越来越多，生动直观的教学模式更有利于学生学习概率知识。如在讲到抛硬币这个实验的时候，传统的教学模式中，教师往往只是以硬币给学生草草演示就算了结，很难说明出现正反两面事件的均等性。而通过多媒体教学，可以有效地进行电子演示，让学生真正体会到在大量实验中出现正反两面概率相等的情况并不是偶然事件，而是必然结果。

2.重视概率教学过程中的活动开展。概率教学本身就是一门建立在大量实验数据基础上的数学分支，教师在进行教学过程中要注重实验活动的开展，通过实验活动来验证概率知识中的具体结论。同时还可以要求学生自行开展一些数学搜集活动，让学生切实感觉现实问题当中的不确定性和多样性，一方面有助于学生理解概率思想，另一方面有助于学生提高利用概率知识解决问题的能力。

3.注意概率教学与其他学科的联系。概率知识与其他高中学科都有着紧密联系，在学习概率知识的过程中，教师要注意引导学生将概率知识与其他学科知识之间架起桥梁，灵活运用概率知识解决其他学科问题，真正起到举一反三、触类旁通的作用。例如，学生在学习到高中生物基础这一节内容时，在判定显性基因与隐性基因的概率时，就要用到概率知识。同样在计算后代中生男生女的问题中也要通过概率计算才能求解出正确答案，这些都是概率与其他学科相互联系的例证。教师在教学过程中要注意引导学生建立起跨学科的知识联系，培养学生综合运用知识来解决问题的能力。

三、深化认识，提高概率问题在实际生活中的应用程度

概率问题的诞生起源于人们生产生活的需要，而其最终的归宿，也将是以理论依据的形式来指导人们进行生产生活。教师在教学过程中，要时刻谨记这一点，提倡和鼓励学生将概率问题应用到现实生活当中来。例如，通过学习概率知识，能够让学生对抽样检测产品合格问题，抽奖先后公平问题以及密码安全性问题有一个科学清晰的认识，真正发挥概率知识在解决实际问题中所起的作用，让学生切身感受到概率知识在生产实践中的作用。

总之，教师要想真正上好概率这节课，必须要在吃透学生、吃透教材的基础上，灵活运用各种教学方法，真正起到提高学生学习积极性的效果，这样才能让学生真正学好这门学科。