习题3.1教学设计(第一课时)

函数与方程教学设计

广州市番禺区象贤中学

王欣宁

【教材】人教A版高中数学必修1第三章第一节 【课时安排】1课时

【教材分析】本节内容是人教A版高中数学必修1第三章“函数与方程”的第一节. 方程的根与函数零点的关系研究，在内容上承上于基本初等函数和函数性质的学习，启下于“用二分法求方程的近似解”的学习；在思想上，揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础．可见，本节在中学数学中具有重要地位.

【学情分析】

认知基础：

知识层面：学生已经基本理解了函数零点和方程根的关系. 能力层面：已初步掌握函数与方程的转化思想，具有一定的数形结合能力．

认知障碍：

如何处理局部与整体的关系；

转化之技巧与转化之本质. 【教学目标】

1、理解函数的零点的概念；

2、掌握判定函数零点个数的方法；

3、能判断函数零点所在区间

4、能由函数零点问题求参数的取值范围

在观察与发现中寻找解题的思路，渗透分类讨论，数形结合，转化与化归的数学思想. 【教学关键】能将所研究的问题进行转化，会合理画出所需要的函数的图像。通过引导，让学生能从感性认知跃迁到理性的认识，体会数形结合的数学思想. 【教学方法】以题组的形式逐层深入

【教学手段】微课，电子书包

【教学流程】

设计意图：通过三道例题的探究，教会学生如何处理零点个数，设计意图：通过一组基础层次的试题，利用电子书包进行发步，检测学生微课的学习程度，以便发现存在的问题，便于下面展开教学。

设计意图：通过微课教会学生系统的知识与方法，使学生对函数微课引入

自主学习

与方程的解题有一个全盘的把握，使学生对函数与方程的思想不断全面化。

题组训练

电子书包检测

例题探究

寻求方法

零点所在区间，参数取值范围问题，从而复习巩固基础函数图像的画法，渗透数形结合思想。

堂上检测

巩固提高

设计意图：通过第二组题组训练，检测学生对例题方法的掌握情况，学生进行迁移和转化。

【教学过程设计】

流程一：观看微课，利用微课培养学生自主学习的能力，理解能力。

设计意图：通过微课，学生进行观看和自学，掌握基本的知识，一方面节省了时间，提高课堂的效率，另一方面也培养学生的自主学习能力。

流程二：自主检测，检验学生对微课的学习情况。

设计意思：检测学生的学习情况，及时反馈，对存在的疑难点及时进行反馈，便于教师有针对性的讲解。

题组检测：

1、若函数f(x)在区间[1,4]上连续，且f(1)0,f(4)0，则函数f(x)在区间(1,4)上（ ）

A、至少有一个零点 B、至多有一个零点

C、一定没有零点 D、必有唯一零点

2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:

x

f(x)

1

23

2

3

4

5

6

7

-26

9

-7

11

-5

-12

那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(

) A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

答案:C 解析:由题意知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上各至少有1个零点,故在[1,6]上至少有3个零点.

3.设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案:B 解析:(方法一)∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0, ∴f(1)·f(2)<0.

∵函数f(x)=ln x+x-2的图象是连续的,且f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).

(方法二)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围,如图所示, 可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).

4、函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 解：易知函数f(x)＝2x＋x3－2单调递增，∵f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f(x)在

区间(0，1)内零点的个数为1.故选B.

2x－2，

x≤0，5、函数f(x)＝的零点个数是（

）

2x－6＋lnx，x>0A．0

B．1

C．2

D．3 解：当x≤0时，f(x)＝x2－2，

令x2－2＝0，得x＝2(舍)或x＝－2，

即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．

当x>0时，f(x)＝2x－6＋lnx，

解法一：令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝6－2x.

作出函数y＝lnx与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋lnx(x>0)只有一个零点．

1解法二：f′(x)＝2＋，由x＞0知f′(x)＞0，

x∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

而f(1)＝－4＜0，f(e)＝2e－5＞0，

f(1)f(e)＜0，从而f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．

综上可知，函数f(x)的零点个数是2.故填2.

流程三：典型例题探究：

例1：.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=数是

A.1 答案:D 在x∈[0,4]上解的个(

) B.2 C.3 D.4

解析:由f(x-1)=f(x+1),可知T=2.

∵x∈[0,1]时,f(x)=x, 又∵f(x)是偶函数, ∴可得图象如图所示.

∴f(x)=在x∈[0,4]上解的个数是4.故选D.

设计意图：教会学生利用数形结合的方法判断函数零点的个数，或通过数形结合的方法教会学生判断零点所在的区间，同时渗透等价转化的思想。

例2：已知函数f(x)=e|x|+|x|,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是() A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(-1,0)

D.(-∞,-1) 答案:B

解析:方程f(x)=k化为方程e=k-|x|,令y=e,y=k-|x|,如图,y=k-|x|表示斜率为1或-1的折线,折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时,有k=1,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(1,+∞).故选B.

设计意图：教会学生通过观察函数图像的动态变化寻找参数了取值范围。

|x||x|例3：（1））若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(

) 111A．a>

B．a>或a<－1

C．－1

D．a<－1 555解：由题可知函数f(x)的图象是一条直线，所以f(x)在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f(－1)f(1)＜0，1即(1－5a)(a＋1)＜0.解得a＞或a＜－1.故选B.（

52）函数f(x)x22ax1在（2，3）内至少有一个零点，求a的取值范围

设计意图：解决有关函数零点的综合性问题，培养学生的数学素养。

流程四：堂上检测：

1、函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是(

) 111A.，

B.，1 C．(1,2) D．(2,3) 422【答案】C 11131【解析】f＝1－log2＝1＋＝＞0，

44224f＝1－log2＝1＋＝＞0，

f(1)＝1－0＝1＞0，f(2)＝1－2log22＝－1＜0，

由f(1)f(2)＜0知选C。

1x2、已知函数f(x)＝5－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且x0

) A．恒为负

C．恒为正

B．等于零

D．不大于零

12121212321x解析：由于函数f(x)＝5－log3x在定义域内是减函数，于是，若f(x0)＝0，当x0

(

) A．多于4个

B．4个

C．3个

D．2个

4．已知0

解析

分别画出函数y＝ax(0

答案

2 5、设方程

2xlgx的两个根为x1,x2，则

（D

）

A x1x20

B x1x21

C x1x21

D 0x1x21

6、“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0”的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当a<－2时，函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上单调递减，此时f(－1)＝3－a>0，f(2)＝3＋2a<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0；当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0时，

有f(－1)f(2)<0，即2a－3a－9>0，

3解得a>3或a<－. 2答案：A 课后分层巩固：

A组：

已知函数f(x)=A.k≤2 C.-2≤k<-1 导学号92950433〛

答案:D 解析:由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0,所以k≤0,作出函数y=|f(x)|的图象, (k∈R),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是(

) B.-1

D.k≤-2

〚2

要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2,选D.

B组：已知函数f(x)=ln x-x+2有一个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N*),则k的值为

.

答案:3

解析:由题意知,f'(x)=-1,在区间(1,+∞)上f(x)<0,则f(x)在(1,+∞)上是减函数,因为f(3)=ln 3-1>0,f(4)=ln 4-2<0,所以该函数的零点在区间(3,4)内,所以k=3 C组：函数f(x)=ex+3x,则方程A.0 答案:B 解析:由已知得f'(x)=B.1 +3x=0实数解的个数是(

) C.2 D.3 +3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,因此,f(x)的零点个数是1,故方程ex+3x=0有一个实数解.

教学设计感悟

函数yfx的零点是中学数学的一个重要的概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是函数值为0的实数x；从方程的角度看，是相应方程fx0的实数根；从函数的图形表示看，是函数yfx与x轴交点的横坐标. 函数是中学数学的核心概念，根本原因之一是因其与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中一个关联点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机的联系在一起. 函数与方程比较，一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”.用函数的观点研究方程，本质就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，为今后进一步学习函数与不等式等知识奠定基础. 函数与方程历来都是高考考查的重点内容，已成为高考永恒的热点.这部分试题呈现出设计新颖、思维力度大，常考常新的特点. 纵观近三年高考试题，通常以小题的形式来考查函数的性质、函数与方程思想的应用等. 函数的零点个数判定又是函数与方程思想很好的考查典型，是函数与方程的纽带，而函数的零点问题其实质就是两函数图象间的位置关系，又可充分考查转化与化归、数形结合的数学思想. 近年，分段函数成为考查的热点，所以本节课选用了两个分段函数的例子，渗透分类讨论的思想.