习题1.210分钟试讲教案

函数1.2

1．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(D) A．y＝ln x

B．y＝x2＋1 C．y＝sin x

D．y＝cos x

A是非奇非偶函数，故排除；B是偶函数，但没有零点，故排除；C是奇函数，故排除；y＝cos x是偶函数，且有无数个零点．故选D. log2x＋m，x≥2，2．(2016·湖南省六校联考)已知2是函数f(x)＝x

的一个零点，则2，x<2f[f(4)]的值是(A) A．3

B．2 C．1

D．log23

由题意log2(2＋m)＝0，所以m＝－1. 所以f[f(4)]＝f(log23)＝2log23＝3，选A. 23．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]．若x0是函数f(x)＝ln x－的零点，x则g(x0)等于(B) A．1

B．2 C．3

D．4 2

由于f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，

3所以x0∈(2,3)，所以g(x0)＝[x0]＝2. 2x，x≥2，4．(2016·福州市毕业班质量检查)已知函数f(x)＝

若关于x的方程f(x)

x－13，x<2，

＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(B) A．(－1,1)

B．(0,1)

C．(0,1]

D．(－1,0)

画出函数y＝f(x)的图象，如下图所示．

方程f(x)＝k有两个不同的实根等价于y＝k与函数y＝f(x)的图象有两个交点，由图象知，0

[2,2.5]

.

设f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，所以f(x)＝0的下一个有根的区间为[2,2.5]．

6．已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝

5

.

因为f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，

且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，所以x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，所以a＋b＝5. 7．设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根为x1和x2. (1)若x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，求实数a的取值范围；

(2)若满足0

(1)令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a. 由于x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，

g0<0，g－1·2a<0，所以即

g1·g2<0，2a3a＋2<0，

2解得－

32(2)令g(x)＝f(x)－x＝x＋(a－1)x＋a，

由题意可得

a0<1－<1，2g1>0，g0>0，Δ>0，

a<3－22或a>3＋22，⇔－10.

解得0

8．(2017·广州市二测)在区间[－1,5]上随机地取一个实数a，则方程x2－2ax＋4a－3＝0有两个正根的概率为(C) 21A.

B.

3231C.

D.

83Δ≥0，

x2－2ax＋4a－3＝0有两个正根⇔

x1＋x2>0，

x1·x2>0a－4a＋3≥0，⇔

2a>0，4a－3>02

31－＋5－343故所求概率P＝＝. 85－－19．(2018·河北五校高三联考)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图1,2所示，函数f[g(x)]，g[f(x)]的零点个数分别为m，n，则m＋n＝

10

.

3⇔

由图可知，图1为f(x)的图象，f(x)的零点为－1,0,1. 图2为g(x)的图象，零点为x1,0，x2，其中x1∈(－2，－1)，x2∈(1,2)．

方程f[g(x)]＝0⇔g(x)＝－1，或g(x)＝0，或g(x)＝1.

由图2可知g(x)＝－1，或g(x)＝0，或g(x)＝1的根有x＝－1，x＝1；x＝x1，x＝0，x＝x2；x＝－2，x＝2共7个．

所以函数f[g(x)]的零点共有7个，即m＝7. 而g[f(x)]＝0⇔f(x)＝x1，或f(x)＝x2，或f(x)＝0. 因为x1∈(－2，－1)，x2∈(1,2)，

所以f(x)＝x1，f(x)＝x2无解．

而f(x)＝0的解为x＝－1,0,1有3个．

所以函数g[f(x)]的零点有3个，即n＝3. 所以m＋n＝10. e2210．已知函数f(x)＝－x＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．

x(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得函数F(x)＝g(x)－f(x)有两个不同的零点．

e2

(1)因为g(x)＝x＋≥2e2＝2e，

x等号成立的条件是x＝e，

故g(x)的值域为[2e，＋∞)，

因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．

即m的取值范围为[2e，＋∞)．

(2)函数F(x)＝g(x)－f(x)有两个不同的零点，

即g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，

即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，

e2作出g(x)＝x＋(x>0)的图象．

x因为f(x)＝－x＋2ex＋m－1＝－(x－e)＋m－1＋e，

其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，

故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，

即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

所以m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．

222