习题1.2第二课时教学设计

1.3.2 奇偶性教案

广州市从化区从化中学 喻乐胜

教学分析

本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．

值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念．教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y＝x与y＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明．

三维目标

1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．

2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．

重点难点

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1．同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．

思路2．结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．

推进新课

新知探究

提出问题

(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

图1 (2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？

表1

x f(x)＝x2

－3

－2

[来源:学科网ZXXK]－1

表2

0

1

2

3

x f(x)＝|x|

(3)请给出偶函数的定义．

(4)偶函数的图象有什么特征？

－3

－2

－1

0

1

2

3

(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数吗？

(6)偶函数的定义域有什么特征？

1(7)观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？

x活动：教师从以下几点引导学生：

(1)观察图象的对称性．

(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．

(3)利用函数的解析式来描述．

(4)偶函数的性质：图象关于y轴对称．

(5)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．

(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．

(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．

给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质．

讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称．

(2) 表1 x f(x)＝x2

－3

9

－2

4

－1

1

表2 x f(x)＝|x|

这两个函数的解析式都满足：

f(－3)＝f(3)；

f(－2)＝f(2)；

f(－1)＝f(1)．

可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．

(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

(4)偶函数的图象关于y轴对称．

(5)不是偶函数．

(6)偶函数的定义域关于原点对称．

(7)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称．

－3

3

－2

2

－1

1

0

0

1

1

2

2

3 3 0

0

1

1

2

4

3 9

应用示例

例1判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x4；

(2)f(x)＝x5；

1(3)f(x)＝x＋；

x1(4)f(x)＝2. x

活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性．先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．

解：(1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，

所以函数f(x)＝x4是偶函数．

(2)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，

所以函数f(x)＝x5是奇函数．

11x＋＝(3)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－x＋＝－x－x－f(x)，

1所以函数f(x)＝x＋是奇函数．

x(4)函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝1函数f(x)＝2是偶函数．

x点评：本题主要考查函数的奇偶性．函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．

变式训练

设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(

) A．f(x)f(－x)是奇函数

B．f(x)|f(－x)|是奇函数

C．f(x)－f(－x)是偶函数

D．f(x)＋f(－x)是偶函数

解析：A中设F(x)＝f(x)f(－x)，则F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)f(－x)为偶函数；

B中设F(x)＝f(x)|f(－x)|，F(－x)＝f(－x)|f(x)|，此时F(x)与F(－x)的关系不能确定，即函数F(x)＝f(x)|f(－x)|的奇偶性不确定；

C中设F(x)＝f(x)－f(－x)，F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，即函数F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数；

112＝2＝f(x)，所以(－x)x

D中设F(x)＝f(x)＋f(－x)，F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数．

答案：D 例2已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________. 活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)，将在区间(0，＋∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(－∞，0)上的自变量对应的函数值．

解析：当x∈(0，＋∞)时，则－x＜0. 又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，

∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4. 答案：－x－x4

点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性．已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值．

变式训练

3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋x，求f(x)．

解：当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝0；

当x＜0时，－x＞0，由于函数f(x)是奇函数，则

33f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋－x]＝－x2＋x，

x23x,x0,综上所得，f(x)＝0,x0,

23xx,x0.例1判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝2x4，x∈[－1,2]；

x3－x2(2)f(x)＝；

x－1(3)f(x)＝x2－4＋4－x2；

1＋x2＋x－1(4)f(x)＝. 1＋x2＋x＋1活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法．先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．在(4)中注意定义域的求法，对任意x∈R，有1＋x2＞x2＝|x|≥－x，则1＋x2＋x＞0.则函数的定义域是R.

解：(1)∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f(x)＝2x4，x∈[－1,2]既不是奇函数也不是偶函数．

x3－x2(2)∵它的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，并不关于原点对称，∴函数f(x)＝既不是奇函数也不是偶x－1函数．

(3)∵x2－4≥0且4－x2≥0，

∴x＝±2，

即f(x)的定义域是{－2,2}．

∵f(2)＝0，f(－2)＝0，

∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)．

∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)．

∴f(x)既是奇函数也是偶函数．

(4)函数的定义域是R. ∵f(－x)＋f(x) 1＋x2－x－11＋x2＋x－1＝＋

1＋x2－x＋11＋x2＋x＋11＋x2－(x＋1)2＋1＋x2－(x－1)2＝

(1＋x2－x＋1)(1＋x2＋x＋1)1＋x2－x2－2x－1＋1＋x2－x2＋2x－1＝

(1＋x2－x＋1)(1＋x2＋x＋1)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)是奇函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性．

定义法判断函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．

判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(－x)＋f(x)来判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立．

变式训练

f(x)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)x上一定(

) A．有最小值

B．有最大值

C．是减函数D．是增函数

解析：函数f(x)＝x2－2ax＋a的对称轴是直线x＝a，

由于函数f(x)在开区间(－∞，1)上有最小值，

所以直线x＝a位于区间(－∞，1)内，

f(x)a即a＜1.g(x)＝＝x＋－2，

xx下面用定义法判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性．

设1＜x1＜x2，

aax2＋－2

则g(x1)－g(x2)＝(x1＋－2)－x2x1aa＝(x1－x2)＋x－x

12a1－＝(x1－x2)x1x2

x1x2－a＝(x1－x2). x1x2∵1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1＞0. 又∵a＜1，∴x1x2＞a. ∴x1x2－a＞0. ∴g(x1)－g(x2)＜0. ∴g(x1)＜g(x2)．

∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，＋∞)上没有最值．

答案：D 例2已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0，f(2)＝1，

(1)求证：f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

57－与f的大小．

(3)试比较f24活动：(1)转化为证明f(－x)＝f(x)，利用赋值法证明f(－x)＝f(x)；(2)利用定义法证明单调性，证明函数5－和单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f27f4转化为同一个单调区间上的函数值．

(1)证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0. ∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．

(2)证明：设x2＞x1＞0，则

x2x2x2x1·－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f. f(x2)－f(x1)＝fx1x1x1x2x2∵x2＞x1＞0，∴＞1.∴fx1＞0，即f(x2)－f(x1)＞0. x1∴f(x2)＞f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

55－＝f. (3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f2257－5＞f7. 由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f＞f.∴f2424点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值．

变式训练

已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．

(1)求f(1)，f(－1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．

分析：(1)利用赋值法，令x＝y＝1得f(1)的值，令x＝y＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(－x)＝－f(x)．

解：(1)∵f(x)对任意x，y都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，

∴令x＝y＝1时，有f(1×1)＝1×f(1)＋1×f(1)．

∴f(1)＝0. ∴令x＝y＝－1时，有f[(－1)×(－1)]＝(－1)×f(－1)＋(－1)×f(－1)．∴f(－1)＝0. (2)是奇函数．

∵f(x)对任意x，y都有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，

∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)．

将f(－1)＝0代入得f(－x)＝－f(x)，

∴函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数.

知能训练

[来源:Zxxk.Com]

课本本节练习，1,2. 【补充练习】

1．设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________. 解析：∵函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．

∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3. 答案：－3 2．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝__________，b＝__________.

1解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝. 31∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0. 31答案：

0 33．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(

) A．－1

B．0

C．1

D．2 解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)．

又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0. ∴f(6)＝0.故选B. 答案：B

拓展提升

问题：基本初等函数的奇偶性．

探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得

正比例函数y＝kx(k≠0)是奇函数；

k反比例函数y＝(k≠0)是奇函数；

x一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当b＝0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数；

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．

课堂小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．

作业

课本习题1.3A组

6，B组

3. 设计感想

单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求．