小结第二课时 公开课

一元二次方程根的分布问题

戴

冰

一.教材依据

二次函数是重要的初等函数类型，一元二次方程是初中阶段学习的一个重要内容，含参的一元二次方程根的分布实际上是综合应用一元二次方程根与系数的关系、二次函数的基本性质、分类讨论思想、数形结合思想等思想方法来解决的一类专题性内容，是基于人教版

年级

章二次函数与人教A版高中教材必修1第二章函数的基本性质的一节专题教学或研究性学习。本节教学结合解一元二次方程及根与系数的关系、二次函数的性质、函数的基本性质，是初等函数思想方法，特别是数形结合思想应用的典型。虽然教材并没有单独成节，但教材中却处处渗透着这一内容。一元二次方程根的分布问题是二次函数性质的集中体现，是对函数的基本思想方法的巩固和提升，是难得的好素材。教学时可安排在函数的基本性质教学结束时的专题教学或作为研究性学习的材料。

本节教学的基础知识和方法：二次函数、解一元二次方程、一元二次不等式的基本解法、分类讨论的基本思路。

二.设计思想

1、

一元二次方程根的分布的地位、作用和特点

函数是高中数学的重点和难点，函数思想更是贯穿于整个高中数学之中。本节教学内容是在学生初中已初步探讨学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单函数，高中探讨了集合工具和函数的基本性质（单调性、奇偶性等）的基础上重新回到一元二次方程根的问题上，研究含参一元二次方程根的分布区间与参数的取值特点的关系，既要利用根与系数的关系解决问题（初级），又要利用函数的方法来尝试解决一元二次方程根的分布（高级），让学生既能提升对函数、方程等知识的认识，又能提升对分类讨论、数形结合、转化等数学思想的认识，提高学生解决问题的能力，巩固、完善学生的函数知识、方法体系。

本节教学内容属于对教材进行二次开发后形成的教学素材与载体，符合新课程的螺旋上升、循环推进的教学理念，而且它的起点低，所达成的目标高，易于学生接受，很好的发展学生的思维能力。

2、

一元二次方程根的分布的数学本质和教学目标设计

（1）二次函数是实数集之间的一种特殊的对应关系，一元二次方程的根即是二次函数与x轴交点的横坐标，其分布问题即是二次函数与x轴的交点的位置特点与参数的取值的关系揭示。

（2）新课程强调数学知识、方法、能力的螺旋上升、教学的循环推进。本节教学内容正是在初中二次函数、一元二次方程及高中集合、函数的基本性质的基础上进行的教学，有衔接、加深、拓展的特点，揭示含参一元二次方程根的分布与参数应满足的条件之间的内在规律。

（3）教学目标

①知识与能力目标：加深对一元二次方程、二次函数的认识；利用函数知识、方法重新审视一元二方程更本质的规律。

②过程与方法目标：经历观察、归纳、概括等数学活动过程，获得一元二次方程根的分布与系数的重新夺得关系的条件限制（不等式（组））；通过运算获得具体、简洁的数量关系；通过创造性思维提出新的问题并尝试通过合作、交流解决所得出的新问题；并会用规律解决综合问题，并对此进行反思、推广。

③情感态度与价值观目标：体会二次函数乃至函数知识、思想的丰富多彩；能积极参与数学学习活动，体验数学学习充满着的探索性和创造性，锻炼克服困难的意志，建立自信；培养

1 / 3

对知识的科学态度和辩证唯物主义观点。

三.教法与学法设计

1、采用高中数学“问题解决”教学方法：创设情境――发现问题――探索问题――解决问题――发现（新）问题――探索（新）问题――……

2、采用多媒体演示，提高效率；

3、采用学案，充分保证每个学生的自主学习；

4、开展积极的合作、交流，体现合作学习与研究性学习。

四.重点与难点设计

1、重点：一元二次方程根的分布的函数解法。

2、难点：分离参数法。

五.教具设计

1、多媒体；

2、学案。

六.教学过程设计

<1>一元二次方程根的分布问题

①一元二次方程根的基本分布--------零分布

②一元二次方程根的非零分布--------k分布

<2>探究一元二次方程根的基本分布-------零分布

①在初中已经介绍过一元二次方程根与系数的关系，对于零分布学生可以用韦达定理来进行求解，也就是从方程的角度进行分析。但是韦达定理在解决k分布时具有一定的局限性，所以我们需要探究一些通法不仅能解决零分布也能解决k分布。于是就要从初中仅仅看方程转化到二次函数的图像与一元二次方程的关系上来，也就是通常所说的数形结合。

②通过探究和观察发现以下两个重要的规律：

2 / 3

<3>从特殊到一般--------k分布

通过特殊零分布总结的两个规律就可以推广到k分布的一些结论

<4>例题讲解

例：对于关于x的方程x2(m3)xm0，求满足下列条件的m的取值范围：

（1）两个正根；

.

（2）有两个负根；

. （3）两个根都小于1；

.

（4）两个根都大于1；

.

2（5）一个根大于2，一个根小于2 ；

.

（6）两个根都在0,2内；

（7）两个根有且仅有一个在0,2内

；

.

（8）一个根在2,0内，另一个根在1,3；

.

（9）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大；

.

（10）一个根小于2，一个根大于4.

.

<5>小结和作业布置

七、板书<略>

3 / 3