小结课程导入

第一章

单元小结（二）

(一)教学目标

1．知识与技能

整合函数性质建构知识网络，以便于进一步理解和掌握函数的性质.提升综合运用函数性质的能力.

2．过程与方法

在整合函数性质、综合运用函数性质的过程中，培养学生分析、观察、思考的教学能力、提升学生的归纳、推理能力.

3．情感、态度与价值观

在学习过程中，通过知识整合，能力培养，激发学生的学习兴趣. 养成合作、交流的良好学习品质.

(二)教学重点与难点

重点：整合知识、构建单元知识系统.

难点：提升综合应用能力.

(三)教学方法

动手练习与合作交流相结合. 在回顾、反思中整合知识，在综合问题探究、解答中提升能力. 加深对知识的准确、到位的理解与应用.

(四)教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

回顾反思

构建体系

函数性质单元知识网络

生：借助课本.并回顾学习过程. 整理函数掌握函数的有关性质归纳知识的纵横联系.

师生合作：学生口述单元基本知识及相互联系，老师点评、阐述、板书网络图. 整理知识，培养归纳能力.

形成知识网络系统. 经典例题

剖

析

升华能力

例1试讨论函数f (x) = ，x(–1，1)的单调性(其中a≠0).

例2

试计论并证明函数y = f (x) = x + (a＞0)在定义域上的单调性，函数在(0，+∞)上是否有最小值？

例3

已知f (x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy) =

f (x) + f (y)，f (2) =1.

（1）求证：f (8) =3；

（2）解不等式

f (x) –

f (x–2) ＞3.

例4 已知函数f (x)，当x、y∈R时，恒有f (x + y) = f (x) + f ( y).

（1）求证：f (x)是奇函数；

（2）如果x∈R+ ，f (x)＜0，并且f (1) = ，试求f (x)在区间[–2，6]上的最值.

师生合作：学生独立尝试完成例1 ~ 例4并由学生代表板书解答过程. 老师点评. 师生共同小结解题思络. 例1【解析】设–x＜x¬1＜x2＜1，

即△x = x2–x1＞0，

则△y = f (x2) –

f (x2)

=

=

∵–1＜x1＜x2＜1，

∴x1–x2＜0，

–1＜0，

–1＜0. |x1x2|＜1，即

–1＜x1x2＜1，x1x2 +1＞0，

∴

＜0. 因此，当a＞0时，△y = f (x2) –

f (x1)＜0，

即f (x1)＞f (x2)，此时函数为减函数；

当a＜0时，△y = f (x2) –

f (x1) ＞0，

即f (x1)＜f (x2)，此时函数为增函数. 例2【解析】函数y = x + (a＞0)在区间(–∞，–

)上是增函数，在区间[–

，0]上是减函数，在区间

(0，

]上是减函数，在区间( ，+∞)上是增函数. 先证明y = x + (a＞0)在(0，+∞)上的增减性，

任取0＜x1＜x2，

则△x = x1–x2＜0，

△y = f (x1) –

f (x2) = (x1 + ) – (x2 + ) = (x1–x2) + ( – ) = (x1–x2) +

= (x1–x2) (1– ) =△x . ∵0＜x1＜x2，

∴△x = x1–x2＜0，x1x2＞0. （1）当x1，x2∈(0，

)时，0＜x1x2＜a，∴x1x2 –

a＜0，

此时①＞0时，

△y = f (x1) –

f (x2)＞0，

∴f (x)在(0，

)上是减函数. （2）当x1，x2∈[ ，+∞）时，x1x2＞a，∴x1x2 –

a＞0，

此时①＜0，△y= f (x1) –

f (x2)＜0，

∴f (x)在[ ，+∞）上是增函数，

同理可证函数f (x)在(–∞，–

)上为增函数，

在[–

，0)上为减函数. 由函数f (x) = x + 在[0，

)上为减函数，且在[ ，+∞)上为增函数知道，f (x)≥f ( ) =2 ，其中x∈(0，+ ∞)，

∴f (x)min=2 ，

也可以配方求f (x) = x + (a＞0)在(0，+∞)上的最小值，

∴f (x) = x + = ( )2 + 2 ，

当且仅当x = 时，f (x)min =2 .

例3【解析】（1）在f (xy) = f (x) + f (y)中，

设x = y =2，则有f (4)=f (2)+f (2)，

设x= 4，y =2，

则有f (8) = f (4) + f (2) =3 f (2) = 3. （2）由f (x) –

f (x–2)＞3，

得f (x)＞f (8) + f (x–2) = f [8 (x–2)]，

∵f (x) 是(0，+∞)上的增函数，

∴

，解得2＜x＜

，

故原不等式的解集为{x|2＜x＜

}. 例4【解析】（1）∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称，

∵f (x + y) = f (x) + f ( y)，

令y = –x，x、–

x∈R，

代入f (x + y) = f (x) + f ( y)，

∴f (0) = f (0) + f (0)，得f (0) = 0，

∴f (x) + f (–x) = 0，得

f (–x) = –

f (x)，

∴f (x)为奇函数. （2）设x、y∈R+，

∵f (x+y) = f (x) + f ( y)，

∴f (x+y) –

f (x) = f ( y)，

∵x∈R+，f (x)＜0，

∴f (x+y) –

f (x)＜0，

∴f (x+y)＜f (x). ∵x+y＜x，

∴f (x)在(0，+∞)上是减函数. 又∵f (x)为奇函数，

f (0) = 0，

∴f (x)在(–∞，+∞)上是减函数. ∴在区间[–2，6]上f (–2)为最大值，f (6)为最小值. ∵f (1) = ，

∴f (–2)= –

f (2) = –2 f (1) =1，

f (6) = 2 f (3)=2[ f (1) + f (2)] = –3，

∴f (x)在区间[–2，6]上的最大值为1，最小值为–3. 动手尝试练习，培养并提高解题能力. 备选例题

例1

用定义证明函数y = f (x) = 是减函数. 【解析】∵x2 +1＞0对任意实数x均成立，

∴函数y = f (x) = 的定义域是R，

任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则△x = x2–x1＞0，

△y = f (x2) –

f (x1)

=

=

= – (x2–x1) = (x2 + x1–

–

)，

∵x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，

∴x2–x1＞0，

＞

= |x1|≥x1，

∴x1–

＜0，同理x2–

＜0，

x1 + x2–

–

＜0，

+ ＞| x1| + | x2 |＞0，

∴f (x2) –

f (x1) ＜0，

∴y = f (x) = 在R上是减函数. 例2

已知函数f (x)的定义域为R，满足f (–x) = ＞0，且g (x) = f (x) + c（c为常数）在区间[a，b]上是减函数. 判断并证明g (x)在区间[–

b，–

a]上的单调性. 解析：设–

b≤x1＜x2≤–

a，

则△x = x2 –

x1＞0，b≥–x1＞–x2≥a，

∵g (x)在区间[a，b]上是减函数，

∴g (–x1)＜g (–x2)，即f (–x1) + c＜f (–x2) + c，

则f (–x1)＜f (–x2)，又∵f (–x) = ＞0，

∴

，即f (x1)＞f (x2) ∴f (x1) + c＞f (x2) + c，即g (x1)＞g(x2)，

△y = g (x2) –

g (x1)＜0，

∴g (x)在区间[–

b，–

a]上是减函数.