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课题：集合与函数概念小结

课时：

课型：复习课

教学重点：集合表示法及函数的性质

教学难点：函数的应用

教学过程：

一、复习习回顾：

、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

、元素与集合的关系：、

、数集的符号：自然数集；正整数集N*或N；整数集；有理数

集Q；实数集R. 、集合与集合的关系：、、

、若集合中有n个元素，则它的子集个数为2；真子集个数为21；非空子集个数为21；nnn非空真子集个数为22. 、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 、子集的性质：

（）（即任何一个集合是它本身的子集）；

（）若，，则；

（）若，，则.

n、集合的基本运算

（）并集：（）交集：（）补集：（）性质：①③,xx或x

xx且x

，, ,

；

，；②，，、函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 、（一）求函数定义域的原则：

（）若（）若（）若fx为整式，则其定义域是R；

fx为分式，则其定义域是使分母不为的实数集合；

fx是二次根式（偶次根式），则其定义域是使根号内的式子不小于的实数集合；

（）若fxx，则其定义域是0xx0；

（二）求函数值域的方法以及分段函数求值

（三）求函数的解析式

、函数的单调性：

（）增函数：设x1,x2（）减函数：设x1,x2强调四点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数．

④定义的变形应用：如果证得对任意的x1,x2(a,b)，且x1x2有（fx的定义域），当x1x2时，有f(x1)f(x2). （fx的定义域），当x1x2时，有f(x1)f(x2). f(x2)f(x1)0或者x2x1(f(x2)f(x1))(x2x1)0，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数；如果证得对任意的x1,x2(a,b)，且x1x2有f(x2)f(x1)0或者(f(x2)f(x1))(x2x1)0，能断定函x2x1数f(x)在区间(a,b)上是减函数。

几点说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区

上是增函数，而在另一些区间上不是增函数；函数的单调区间是其定义域的子集；该区间内任意的两个实数，忽略任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）；讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域。

（）三类函数的单调性：

①一次函数fxkxb

fx在R上是增函数；当k0时，函数fx在R上是减函数. kb

xa当k0时，函数②反比例函数fx当k0时，函数当k0时，函数fx在,a,a,上是减函数；

fx在,a,a,上是增函数.

③二次函数fxax2bxc

bb,,fx在上是减函数；

上是增函数，在2a2abbfx在,上是减函数，在,上是增函数. 2a2aa0时，函数当a0时，函数（）证明函数单调性的方法步骤：（）定义：设值、作差、变形、断号、定论．

即证明函数单调性的一般步骤是：⑴设x1,x2是给定区间内的任意两个值，且x1

（）复合函数的单调性：同增异减

（）函数fx在(a,b)上是减函数和函数fx的单调递减区间是(a,b)的区别。

fxfx（）偶函数：fxfxf(x)f(x)

函数的奇偶性：

（）奇函数：注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性

②由于任意x和x均要在定义域内，故奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称．所以我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称

③若奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即f(0)0. ④函数的单调性是对区间而言，它是“局部”性质；而函数的奇偶性是对整个定义域而言的，它是“整体”性质

⑤偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同。

（）证明和判断函数奇偶性的方法步骤：

利用定义判断函数奇偶性的一般步骤：

①

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②

②确定f(x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是偶函数；

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是奇函数．

（）奇偶函数图象的性质特点：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（）函数f(xa)为奇函数可推得：

（）函数f(xa)为偶函数可推得：

（）两个函数的定义域的交集非空，则有奇函数与偶函数的乘积是奇函数，奇函数与奇函数的成绩是偶函数，偶函数与偶函数的乘积是偶函数。

、函数的图象及其变换、对称性：

（）函数的轴对称：

定理：如果函数yfx满足faxfbx，则函数yfx的图象关于直线xab对称. 2推论：如果函数yfx满足faxfax，则函数yfx的图象关于直线xa对称. 推论：如果函数yfx满足fxfx，则函数yfx的图象关于直线x0（轴）对称.特别地，推论就是偶函数的定义和性质.它是上述定理的简化. （）函数的点对称：

定理：如果函数yfx满足faxfax2b，则函数yfx的图象关于点a,b对称. 推论：如果函数yfx满足faxfax0，则函数yfx的图象关于点a,0对称. 推论：如果函数yfx满足fxfx0，则函数yfx的图象关于原点0,0对称.特别地，推论就是奇函数的定义和性质.它是上述定理的简化. 二．典型题讲解：

[例]：

设是实数集，满足若∈，则1，a1且1. 1a⑴若∈，则中至少还有几个元素？求出这几个元素. ⑵能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若∈，证明：－1∈.

a1∈  ∈

2⑷求证：集合中至少含有三个不同的元素. 解：⑴∈  －∈ 

∴ 中至少还有两个元素：－和⑵如果为单元素集合，则＝即a2a1＝

1

21

1a该方程无实数解，故在实数范围内，不可能是单元素集

⑶∈ 1∈ 1a1111a∈1a1，即－∈

a1a111111∈，

－∈ .现在证明－,三数互不相等.①若,即

，aa1a1a1a1方程无解，∴≠

1a11②若－，即，方程无解∴≠－

aa1111③若－，即，方程无解∴－≠. a1aa1a⑷由⑶知∈时，综上所述，集合中至少有三个不同的元素. 点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例]：

an21,n∈}，集合{bbk24k5,k∈}，试证：．

证明：任设a∈， 2则an1(n＋)－(n＋)＋(n∈),

设集合{a∵

∈*，∴

＋∈*

∴

∈故①

显然，Aa|an1,nN2*，而由

2{bbk4k5,k∈}{bb(k2)21，k∈}知∈，于是≠

②

由①、②

得．

点评：（）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．

（）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．

[例]：【年北京理科】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米

．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

．甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗升汽油

．某城市机动车最高限速千米小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【解析】

试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，中乙车消耗升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，错误；中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，错误，中甲车以千米小时的速度行驶小时，甲车每消耗升汽油行驶的里程,行驶，消耗升汽油，错误，中某城市机动车最高限速千米小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选. 考点：.函数简单应用问题；.对“燃油效率”新定义的理解；.对图象的理解. [例]：

2x,x2,（年天津理科高考题改编）已知函数fx函数gxbf2x，2x2,x2,其中bR，若函数yfxgx与轴恰有个交点，则b的取值范围是

（）7777,（）,（）0,（）,2

4444【答案】

【解析】

2x,x2,22x,x0试题分析：由fx得f(2x)，

22x0x,x2,x2,

2xx2,x0所以yf(x)f(2x)4x2x,0x2，

222x(x2),x2x2x2,x0即yf(x)f(2x)2,0x2

x25x8,x2等价于方程yf(x)g(x)f(x)f(2x)b,所以yfxgx与轴恰有个交点，f(x)f(2x)b0有个不同的解，即函数yb与函数yf(x)f(2x)的图象的个公共点，由图象可知7b2. 4864215105246851015

考点：.求函数解析式；.函数与方程；.数形结合. 三．课后检测

《集合与函数概念》单元检测

一、选择题

、以下四个关系：{0}，0，{}{0}，．

、若Ax|0x．

．

{0},其中正确的个数是

． （ ）

2,Bx|1x2，则AB ( ) ．x|x0．x|x2

．0x2．x|0x2

、若1,a,0,a2,ab，则aba2009b2009的值为( )

． ． ．1．或1

、在下列四组函数中，（）与（）表示同一函数的是（

）

．y1,yx x．yx1x1,yx21

．yx,y5x5 、函数y

．y|x|,y(x)2

xxx的图象是（）

y

x

y

y

x

y

x

x

、设集合Ax0x6，By0y2。从A到B的对应法则f不是映射的是（）

11x ．f:xyx

3211yx ．f:xyx

．f:x46y．f:x、若f(x1)的定义域为[，]，则f(x2)的定义域为（ ）

．[，]

．[，]

．[－，－] ．无法确定

、是定义在上的增函数,则不等式的解集是（ ）

．( ∞) ．( , ) ．( ∞) ．( ,16) 7、函数y(k2)x1在实数集上是增函数，则的范围是（）

．k2．k2．k2．k2

、函数f(x)的定义域为(a,b)，且对其内任意实数x1,x2均有：(x1x2)[f(x1)f(x2)]0，则f(x)在(a,b)上是

．增函数 ．减函数

．奇函数 ．偶函数

、设函数f(x)2x3,g(x2)f(x)，则g(x)的表达式是（ ）

．2x1

．2x1．2x3．2x7

、设（）是上的偶函数，且在（，＋∞）上是减函数，若＜且＋＞，则（

）

．（－）＞（－）

．（－）＜（－）

．（－）＝（－）

．（－）与（－）大小不确定

二、填空题：每小题分，共分。

、著名的Dirichlet函数D(x)1,x取有理数时0,x取无理数时，则D[D(x)]．

、已知yf(x)为奇函数，当x0时f(x)x(1x)，则当x0时，

则f(x)

、如果f(x)x2xa在[1,1]上的最大值是，那么f(x)在[1,1]上的最小值是

、已知()是定义在2,0∪0,2上的奇函数，当x0时，

()的图象如右图所示，那么()的值域是.

三、解答题：每小题分，共分。

、已知集合Aa,a1,3，Ba3,2a1,a1，若AB3

22y32O2x求实数a的值。

、已知函数f(x)（）若AB，求

（）若全集U{x|x4}，1，求CUA及A(CUB)

2.已知集合Ax|x3x20＝｛｜ax20｝,若ABA,求实数a的值所组成的3x1的定义域为集合，B{x|xa}

x2集合.

20、已知函数f(x)x2ax2,x[5,5]，

（1）当a1时，求函数f(x)的单调区间。

（2）若函数f(x)在[5,5]上增函数，求a的取值范围。

、已知函数f(x)x(2x)(2x0)。

x(2x)(0x2)（）判断函数f(x)的奇偶性；（）求函数f(x)的最值。

、已知函数f(x)x4x3，（）若f(a1)0，求a的值；

2（）若g(x)f(x)cx为偶函数，求c。

（）证明：函数f(x)在区间[2,)上是增函数。

、

已知函数（）＝＋

（）求；

（）判断（）的奇偶性；

（）函数（）在（，＋∞）上是增函数还是减函数?并证明．

天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。

良言一句三冬暖，恶语伤人六月寒，下面是板报网为大家分享的有关激励人的名言，激励人心的句子，希望能够在大家的生活学习工作中起到鼓励的作用。不要心存侥幸，避免贪婪的心作怪，这会令你思考发生短路。如果你不是步步踏实，学习确是件困难的事，但不怕不会，就怕不学，有谁生下来就是文学家，任何一件事情都要经历一个过程，学习同样如此，在学习的过程中，暴露出的问题也会越来越多，但如果不经历这样的磨练，学习就失去了意义。

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x