阅读与思考 集合中元素的个数教案推荐

教学设计

集合中元素的个数

教学目标

1、了解集合元素个数的表示方法；

正定县第三中学

胡雷霞

2、理解两（三）个元素集合的交、并集的元素个数的求法；

3、会求两（三）个元素集合的交、并集的元素个数；

4、了解Venn图在集合中的作用，并会用Venn图分析集合问题. 教学过程

一、

有限集元素个数记法

我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集

，用card(A)表示集合A中元素的个数（card是英文cardicardal(基数)的缩写）.例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A)=3 .

二、问题引入

学校超市进了两次货，第一次进的货是签字笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、雪糕共6种，第二次进的货是签字笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？

该问题你是如何思考的？

分析：用集合A表示第一次进货的品种

，用集合B表示第二次进货的品种

就有A={签字笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，雪糕}

B={签字笔，铅笔，火腿肠，方便面} 这里card(A)=6,card(B)=4,求两次一共进了几种货？

这个问题指的是求card(A∪B)，而两次进货里有相同的相同品种个数实际就是

card(A∩B). 因此card(A∪B)=8，card(A∩B)=2

card(A），card（B），card(A∪B) ，card(A∩B)之间有什么关系呢？

三、

结论的探究与证明

探究一：两个有限集合的并集中元素个数问题. 若A∩B=Φ，显然有card(A∪B)= card(A）+card（B）；

若A∩B≠Φ，利用Venn图表示如图1，card(A∪B)与

card(A）+card（B）相比，后者比前者多了二者的公共部分（即card(A∩B)），由此我们可得

结论1：已知两个有限集合A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) 探究二：三个有限集合的并集中元素个数问题

为了便于说清楚问题，我们考虑A∩B≠Φ，C∩B≠Φ，A∩C≠Φ，A∩B∩C≠Φ的情况，利用Venn图表示如图2，

相对card(A∪B∪C)来说card(A）+card（B）+card（C）的数目中多计了a,c,d一次,b两次，由此建立等量关系式：

a= card(A∩B)—card(A∩B∩C) c= card(B∩C)—card(A∩B∩C) d= card(A∩C)—card(A∩B∩C) 故card(A∪B∪C)= card(A）+card（B）+card（C）

—[card(A∩B)—card(A∩B∩C)] —[card(B∩C)—card(A∩B∩C)] —[card(A∩C)—card(A∩B∩C)] —2 card(A∩B∩C) 整理得，card(A∪B∪C)=card(A)+card(B) +card(C)-card(A∩B) -card(A∩C) -card(B∩C)+ card(A∩B∩C)，由此我们可得

结论2：已知三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B) +card(C)-card(A∩B) -card(A∩C) -card(B∩C)+ card(A∩B∩C). 四、应用举例

例1：学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中这个班共有多少人参赛？

分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生得集合，card(A)，card(B) ，card(A∩B)是已知的，于是可以根据上面的公式求出card(A∪B).

解：设A={ x|x是田径运动会参赛的学生}，

B={ x|x是球类运动会参赛的学生} ，

那么A∩B= { x|x是两次运动会都参赛的学生}，

A∪B={ x|x是所有参赛的学生}，

card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)

=8+12-3=17 答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛. 例2：某校对68名学生去游览A，B，C三个公园的情况进行调查，统计结果如下：

（1）

每个人至少去过A，B，C三个公园中的一个；

（2）

到过A和B，B和C，C和A两个公园的人数分别为25人，21人，19人；

（3）

到过A或B，B或C，C或A公园的人数分别为60人，59人，56人

试问，这些学生到过A，B，C三个公园的人数分别各为多少？三个公园都到过的学生有多少？

分析：本题是关于集合中元素个数公式的运用的一个题目，主要是考察学生对集合中元素个数的理解与两个集合与他们的交，并这四个集合间的元素个数公式的运用.对于第二问应该要从题目各个条件的分析中找到答案. 解：A={去过A公园游览的学生}

B={去过B公园游览的学生}，

C={去过C公园游览的学生}，

A∪B ={去过

A或B公园游览的学生}，

C∪B ={去过

C或B公园游览的学生}，

A∪C={去过

A或C公园游览的学生} A∪B∪C ={去过

A或B或C公园游览的学生} A∩B={既去过

A也去过B公园游览的学生} C∩B={既去过C也去过B公园游览的学生} A∩C={既去过

A也去过C公园游览的学生} A∩B ∩C ={三个公园都游览过的学生} 由题意card(A∪B∪C)=68，card(A∩B)=25，card(B∩C)=21，card(A∩C)=19，

card(A∪B)=60 card(C∪B)=59，card(A∪C)=56 （1）

有公式)card(A)+card(B)= card(A∪B)+card(A∩B) card(C)+card(B)= card(C∪B)+card(C∩B) card(A)+card(C)= card(A∪C)+card(A∩C) 得card(A)+card(B)= 85

①

card(C)+card(B)= 80

②

card(A)+card(C)=75

③

由①②③得card(A)=40card(B) =45card(C)=35

（2）由公式card(A∪B∪C)=card(A)+card(B) +card(C)-card(A∩B) -card(A∩C) -card(B∩C)+ card(A∩B∩C). 得68=40+45+35—25—21—19+ card(A∩B∩C) 所以，card(A∩B∩C)=13 答：学生到过A，B，C三个公园的人数分别为40人，45人，35人，三个公园都到过的学生有13人.

五、课后练习

1.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人是多少？应如何解答？

2.某班的54名学生对美术选修专题《素描》和《速写》的选择如下（每位学生至少选一个专题）：两个专题都选的有6人，选《速写》的学生数比选《素描》的多8人，求只选修了《素描》的学生有多少人？