信息技术应用 用计算机绘制函数图象名师教学视频（文字实录）

公开示范课

《单调性与最大（小）值》教案

新绛二中 崔海萍

【教学目标】

1.理解并掌握函数最大(小)值的概念及其几何意义，并能利用函数图象及函数单调性求函数的最大(小)值.

2.在求函数最大(小)值过程中，提高分析问题、创造地解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想.

【教学重难点】

教学重点:理解函数最大(小)值.

教学难点:利用函数的单调性求函数最大(小)值. 【教学方法】

讲练结合

【教学过程】

一 导入新课

前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量之间的关系.从函数图象的角度很容易直观的知道函数图象的最高点（或最低点），如何从解析式的角度认识函数的最大(小)值呢？

【设计意图：复习函数的单调性，引出函数的最大(小)值，并使学生分别从函数图象的角度和解析式的角度刻画函数的最大(小)值,激发学生探究函数最大(小)值的概念及其几何意义的兴趣.】

二、新课推进

（一）画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现

函数的什么特征？

①

②

③

（二）观察上述三个函数的图象，如何用数学语言解释：相应函数的图象有最高点或者最低点？

函数图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值. 函数图象最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值. 函数图象可能只有最高点，不在存最低点，则函数有最大值，无最小值；函数图象也可能只有最低点，不存在最高点，则函数有最小值，函数无最大值；也可能函数最大(小)值都有，或者都无等等. （三）归纳新知

1、函数最大值的定义：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值，

记为ymax＝f（x0）. 2、思考并类比函数的最大值的定义，给出函数最小值的定义

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，我们称M是函数y=f（x）的最小值，

记为ymin＝f（x0）.

三、反思提升

（一）函数最大(小)值的定义及其几何意义

（二）函数最大(最小)值与函数定义域及值域的关系. （1）函数的定义域为开区间或闭区间对函数最大(小)值的影响

（2）函数不一定有最大(小)值

（3）函数的最大(小)值是唯一的，但其对应的自变量的值不一定是唯一的. （三）数学方法与思想

函数最大(小)值与函数图象及其单调性的关系中充分体现数形结合的思想，函数最大(小)值的定义中体现类比的方法，分类讨论的方法. 四 例题讲解

例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花在距地面高度h m与时间t s的之间的关系为h（t）=－4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1 m）？

解：作出函数h（t）=－4.9t2+14.7t+18的图象. 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数h（t）=－4.9t2+14.7t+18，我们有：

当t=－=1.5时，函数有最大值，

h=≈29. 于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.

【例2】

求函数y=在区间［2，6］上的最大值和最小值. 分析：由函数y=上递减.所以，函数y=（x∈［2，6］）的图象可知，函数y=在区间［2，6］在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大值和最小值. 解：设x1、x2是区间［2，6］上的任意两个实数，且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）=－==. 由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，

（x1－1）（x2－1）＞0，

f（x1）－f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2）. 所以，函数y=是区间［2，6］上是减函数. 因此，函数y=在区间［2，6］的两个端点上分别取得最大(小)值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4. 五 课堂练习

已知函数,

（1）证明当0

（2）应用函数的单调性得函数的最小值.

（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则

f（x1）-f（x2）=（）-(）=（x1-x2）+=，

∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0. 当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，∴f（x1）-f（x2）＞0. ∴f（x1）＞f（x2），即当00， ∴f（x1）-f（x2）＜0. ∴f（x1）＞f（x2），即当x≥1时，

函数f（x）是增函数. （2）由（1）得当x=1时，函数取最小值. 又f(1)=2，则函数点评：本题主要考查函数的单调性和最值。

取最小值是2. 定义法证明函数的单调性的步骤：作差、判号、结论；三个步骤缺一不可.

利用函数的单调性求函数的最值的步骤：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；当然对于简单的函数，也可以画出其函数图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值. 六 小结

函数最大(小)值的概念及其几何意义，怎样利用函数图象及函数单调性求函数的最大(小)值.

七、课后作业

1、教科书P32 5、P39 A 5、B 1、2 2、校本教辅资料相应练习

【教学反思】

本节课看似简单，但为了达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点.在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般的过程，完成对函数最大（小）值定义的认识,使得学生对概念的认识不断深入.在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用函数图象和函数单调性求函数最值的方法和步骤，并进行适当巩固练习。这样的教学设计基于新课程理念，学生更愿意主动参与到学习中。