探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教学设计和教学实录

互为反函数定义及其图像之间的关系

教学目标：

①使学生掌握反函数的概念并能求出简单函数的反函数（考纲要求）。

②互为反函数的两个函数图像的性质，及这些性质在解题中的运用。

③通过知识的系统性，培养学生的逆向思维能力和逻辑思维能力。

教学重点：使学生能求出简单函数的反函数。

教学难点：反函数概念的理解，图像间关系及应用。

教学过程：

一、知识学习

1、验收函数定义及三要素，引入反函数

反函数的定义：设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y).

若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数作,习惯上改写成

的反函数，记2、性质：反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色

（1）函数f（x）与他的反函数f（x）图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称

（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，

定义域是{0} 且

f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；

（6）反函数是相互的且具有唯一性；

（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））。

（9）y=x的反函数是它本身。

3、函数y=f（x）有反函数的条件是_存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。

4、求反函数的步骤：

①

原函数值域. ②

解方程得x. ③

替换x与y.

二、典型例题分析：

例一、1.求函数

2.求下列函数的反函数. yx1,x0 的反函数

yx1,x0y4x2,xR1、2、

xy,x12yx2x,x04、x13、

2

2y11x3：求函数1≤

x < 0）的反函数.

2x(0x1)1　　例4.求函数y2(1x0)x　　　的反函数.

例二、

反函数图像性质

例1.

求函数y=3x-2的反函数,并画出原函数和反函数的图像.

例2.

求函数

yx1

的反函数，并在同一坐标系中画出他们的图像

例3.

求函数y=x3(x∈R)的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的图象.

f(x)例4.

求证：函数

2x1x2

的图像关于直线y=x图像对称

课后能力限时练

1、（05江苏卷）函数的反函数的解析表达式为( ) （A）

（B）

（C）2、（05全国卷Ⅰ）（A）（C）

（D） 反函数是（

）

（B）

（D）3、

（05天津卷）设是函数

（

）

的反函数，则使成立的x的取值范围为

A．

是函数B．

C．

D．

的反函数，则

的图象为

（ ）

4、若函数 A B C D 5、已知函数

的图象过点（0，1），则函数

的反函数的图象必过定点（ ）

A、（1，－4） B、（1，4） C、（1，0）

D、（4，1） 6、若函数f（x）的图象与的图象关于直线y=x对称，则函数的单调减区间是 （ ） A、（1，+∞） B、（-∞，1] C、（0，1] D、[1，2）

7、若指数函数y=f(x)的反函数的图象经过点（２，－１），则此指数函数为 （A）

8、设 （A）在（ （C）在（ （B），则 （C） （Ｄ）

上是减函数 上是增函数

上是增函数 （B）在（上是减函数 （Ｄ）在（9、设，则 （A）

10、若函数 （B）

（C）

（Ｄ）

的图象的图象经过第三、四象限，且存在反函数，则函数经过

（ ）

（A）第一、二象限

（B）

第二、三象限 （C）第三、四象限

（Ｄ）

第一、四象限

11、（04年湖南卷.文理3）设是函数的反函数,若,则f(a+ b)的值为（ ）

(A) 1

(B)2

(C)3

(D)

12、

（05湖南卷）设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f1(x)，f (4)＝0，－

则f1(4)＝

. － 13、已知函数则的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），的表达式为_____________. 14、函数15、已知函数的反函数是的反函数是 ,且

,则函数

的值域为______________.

16、已知函数

答案：

基本训练：1、②⑤ 2、A 能力限时练B：

1、A 2、B 3、A 4、B 57、A 8、D 9、A 10、B 1112、-2

13、4x3 1415、[1,2] 16、-3

的反函数就是它本身，那么____ 、 B 6、C 、B 、

f1(x)x1(1x0) x(0x1)