习题1.2教案设计

函数及其表示

胡越峰

教学目标：

1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求解．

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3．考查简单的分段函数，并能简单应用. 重点：函数的定义域、值域、解析式的求解．

难点：复合函数的定义域、值域、解析式的求解．考点梳理

1．函数的基本概念

(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则．

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．

(5)函数的表示法．

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

2．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

3．映射的概念

设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．

一种方法，两个防范

1、求复合函数定义域的方法

(1)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．

(2)已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

2、(1)解决函数的任意问题，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．

(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．

基础自测

1．下列各对函数中，表示同一函数的是(

)．

A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x

B．f(x)＝lgC．f(u)＝

x＋1，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1) x－11＋u，g(v)＝

1－u1＋v

1－vD．f(x)＝(x)2，g(x)＝x2

答案

C b2．已知a，b为实数，集合M＝a，1，N＝{a,0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于(

)．

A．－1

B．1

C．0

D．±1 解析

由集合性质结合已知条件可得a＝1，b＝0，∴a＋b＝1. 答案

B 2x＋1，x≤1，3．若函数f(x)＝则f(f(10))＝

lg x，x>1，

A．lg 101

B．2

C．1

D．0

解析

f(10)＝lg 10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2. 答案

B 4．函数y＝16－4x的值域是(

)．

A．[0，＋∞)

B．[0,4] C．[0,4)

D．(0,4) 解析

由已知得0≤16－4x<16,0≤16－4x<16＝4，即函数y＝16－4x的值域是[0,4)，选C. 答案

C 5．函数f(x)＝1－2log6

x的定义域为________．

21－2log6x≥0，log6x≤1＝log66，解析

由题意，知⇒⇒00x>0

函数f(x)的定义域为(0，6]．

答案

(0，6]

考向一

求函数的定义域

1【例1】(1)函数f(x)＝ln(x2－3x＋2＋－x2－3x＋4)的定义域为(

)．

xA．(－∞，－4]∪[2，＋∞)

B．(－4,0)∪(0,1) C．[－4,0)∪(0,1]

D．[－4,0)∪(0,1) (2)已知函数f(2x)的定义域是[1,2]，则函数f(log2x)的定义域为________．

[审题视点] (1)理解各代数式有意义的前提，列不等式组解得．

(2)根据求复合函数定义域的解法求解．

x－3x＋2≥0，解析

(1)－x－3x＋4≥0，x－3x＋2＋－x－3x＋4>02222x≠0，

⇒－4≤x<1且x≠0，故选D. (2)在函数f(2x)中，定义域为[1,2]，即1≤x≤2,2≤2x≤4，∴f(x)的定义域为[2,4]．要求f(log2x)的定义域，则2≤log2x≤4,4≤x≤16，∴f(log2x)的定义域为[4,16]．

答案

(1)D

(2)[4,16]

求函数定义域的主要依据是：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数大于或等于零；(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；(4)零次幂的底数不为零；(5)若函数f(x)的定义域为D，则对于复合函数y＝f[g(x)]，其定义域由满足g(x)∈D的x来确定．

【训练1】

函数f(x)＝1＋4－x2的定义域为(

)．

lnx＋1A．[－2,0)∪(0,2]

B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2]

D．(－1,2] 1≠0，lnx＋2f(x)有意义，应满足4－x≥0，x＋1>0，解析

x>－1，且x≠0，解得



－2≤x≤2，∴f(x)的定义域为{x|－1

答案

B

考向二

求函数的解析式

2【例2】(1)已知fx＋1＝lg x，求f(x)的解析式；

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；

(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．

[审题视点] (1)用换元法求解．

(2)已知f(x)是一次函数，用待定系数法求解．

(3)式中含有x，－x，故构造方程组求解．

22解

(1)令x＋1＝t，由于x>0，∴t>1且x＝，

t－1∴f(t)＝lg 22，即f(x)＝lg (x>1)．

t－1x－1(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

∴3f(x＋1)－2f(x－1)＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b]＝kx＋5k＋b＝2x＋17.

k＝2，k＝2，∴即∴f(x)＝2x＋7. 5k＋b＝17，b＝7，(3)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①

以－x代x，得2f(－x)－f(x)＝lg (－x＋1)．②

21由①②消去f(－x)，得f(x)＝3lg(x＋1)＋3lg(1－x)，x∈(－1,1)．

函数解析式的求法

(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

1(4)方程思想：已知关于f(x)与fx或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

1－x1－x2＝【训练2】

已知f2，则f(x)的解析式可取为(

)．

1＋x1＋xx2xA.(x≠－1)

B．－(x≠1) 1＋x21＋x22xxC.(x≠－1)

D．－(x≠1) 1＋x21＋x21－x1－x1－x22解析

由f＝＝t⇒x＝－1且t≠－1⇒f(t)＝2，令1＋xt＋11＋x1＋x21－t＋1－122t2x＝，∴f(x)＝，x≠－1. 2x2＋122t＋11＋t＋1－1答案

C

考向三

分段函数及其应用

【例3】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝

ax＋1，－1≤x<0，bx＋2，0≤x≤1，x＋1

13其中a，b∈R.若f2＝f2，则a＋3b的值为________．

[审题视点] 本题考查分段函数及函数的周期性等知识，题目中挖掘隐含条件f(－1)＝f(1)对于解决本题至关重要．

31解析

因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f2＝f－2，且f(－1)11＝f(1)，故f2＝f－2，

12b＋21从而1＝－2a＋1,3a＋2b＝－2.①

2＋1b＋2由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝2，故b＝－2a.②

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10. 答案

－10

对于解决分段函数问题，其基本方法是“分段归类”即自变量涉及到哪一段就用这一段的解析式．

log2x，x>0，1【训练3】

已知函数f(x)＝x若f(a)＝2，则a的值为(

)．

2，x≤0，1A．－1

B.2

C．－1或2

D．－1或2 1解析

若a>0，有log2a＝2，a＝2；

1若a≤0，有2a＝2，a＝－1. 答案

D