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章末复习课

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核心归纳

1．指数函数的图象和性质

一般地，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示.

a>1

0

定义域

值域

R

(0，＋∞) 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 性

质

当x>0时，y>1；

当x<0时，0

在(－∞，＋∞) 上是增函数

当x>0时，0

当x<0时，y>1 在(－∞，＋∞) 上是减函数

注意

(1)对于a>1与0

(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0

象向上越靠近y轴，递减速度越快．

(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图．

2．对数函数的图象和性质

图象

定义域是(0，＋∞) 值域是R

性

质

当x＝1时，y＝0，即图象过定点(1,0) 当x>1时，y>0；

当0

在(0，＋∞) 上是增函数

3．指数函数与对数函数的关系

对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称．(如图) 当x>1时，y<0；

当00 在(0，＋∞) 上是减函数

a>1

0

4．幂函数的性质

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．

(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数．

(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右

边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．

(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．

要点一

指数、对数的运算

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

413b3a3

－8a3

b【例1】

(1)化简：2÷×ab；

1－22a3334b

＋2ab＋a

1324(2)求值：lg－lg8＋lg245. 24931a3

a－8b解

(1)原式＝1111×12b3

2＋2a3

b3

＋a3

2a3

1a3

a－8b1113×a3

×a3

b3

＝ab. 1a3

1－2b3

11×a3

b3

＝a－8b1324(2)法一

lg－lg8＋lg245 2493＝lg42－lg 4＋lg 75 7421××75

74＝lg11＝lg10＝lg 10＝. 22143151法二

原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 232222111＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5) 22211＝lg 10＝. 222932【训练1】

(1)化简：(8)3

×(10)2

÷105；

－(2)计算：2log32－log332＋log38－25log53. 9

3解

(1)原式＝22

2－3

×9551210－－－2

÷102

＝21×103×102

＝21×102

＝. 3210

32(2)原式＝log34－log3＋log38－5log59 994××8－9＝－7. ＝log332要点二

指数函数、对数函数、幂函数的图象问题

函数图象的画法

画法

基本

函数

法

基本初等函数

应用范围

画法技巧

利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的有关知识，画出特殊点(线)，直接根据函数的图象特征作出图象

与基本初等函数有关联的函数

未知函数或较复杂的函数

弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象

列表、描点、连线

变换法

描点法

【例2】

函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(

)

解析

法一

当x＝0时，y＝0，故可排除选项A，由1－x>0，得x<1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B，又易知函数在其定义域上是减函数，故选C．

法二

函数y＝2log4(1－x)的图象可认为是由y＝log4x的图象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y＝log4x的图象上所有点的横坐标不变．纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2log4x的图象；(2)把函数y＝2log4x关于y轴对称得到函数y＝2log4(－x)的图象；(3)把函数y＝2log4(－x)的图象向右平移1个单位，即可得到y＝2log4(1－x)的图象，故选C．

答案

C 【训练2】

在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(

)

解析

法一

当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；

当0

法二

幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．

答案

D 要点三

大小比较问题

数的大小比较常用方法：

(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查数、指数函数、对数函数幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．

(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．

【例3】

设a＝log2π，b＝log1

π，c＝π2，则(

) －2A．a>b>c

B．b>a>c C．a>c>b

2D．c>b>a

－解析

因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝log1

π<0.因为π>1，所以0<π2<1，即0c>b. 答案

C 10.23

，则(

) 【训练3】

设a＝log1

3，b＝，c＝2321

A．a＜b＜c

B．c＜b＜a C．c＜a＜b

1D．b＜a＜c

10.23

＞1，

解析

a＝log1

3＜0,0＜b＝＜1，c＝232故有a＜b＜c. 答案

A 要点四

函数的定义域与值域

函数值域(最值)的求法

(1)直观法：图象在y轴上的“投影”的范围就是值域的范围．

(2)配方法：适合二次函数．

1－x221－y(3)反解法：有界量用y来表示．如y＝≥0可求y的范围，可得值2中，由x＝1＋x1＋y域．

(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围．

(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．

1【例4】

(1)函数f(x)＝的定义域为(

) log2x－2A．(－∞，2)

C．(2,3)∪(3，＋∞)

1B．(2，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞) (2)设0≤x≤2，y＝4x－2

－3·2x＋5，试求该函数的最值．

log2x－2≠0，x≠3，(1)解析

由题意知解得所以函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，x－2>0，x>2，

＋∞)．

答案

C 11－(2)解

令k＝2x(0≤x≤2)，∴1≤k≤4.则y＝22x1－3·2x＋5＝k2－3k＋5.又y＝(k－3)222111＋，k∈[1,4]，∴y＝(k－3)2＋，在k∈[1,3]上是减函数，在k∈[3,4]上是增函数，∴当k2221551＝3时，ymin＝；当k＝1时，ymax＝.即函数的最大值为，最小值为. 2222【训练4】

(1)若f(x)＝1，则函数f(x)的定义域为(

) log0.52x＋11－，0

C．21－，0

D．21－，＋∞

B．(0，＋∞) A．211＋＋1－x2的定义域为________．

(2)函数f(x)＝lnx解析

(1)f(x)＝1的定义域为：

log0.52x＋1

1x>－，2x＋1>0，2x，即xlog0.52x＋1>02x＋1<1

，

1解得{x|－

21＋x>0，(2)由条件知x≠0，1－x≥021

x<－1或x>0，⇒x≠0，－1≤x≤1

⇒x∈(0,1]．

答案

(1)C

(2)(0,1]