3.3 幂函数教学实录

学习目标

1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．

知识点一

幂函数的概念

1思考

y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？

x

梳理

一般地，我们把形如____________的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

知识点二

五个幂函数的图象与性质

1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝x2；(4)y＝x1；(5)y＝x3的图象－12如图．

2．五个幂函数的性质

定义域

值域

奇偶性

单调性

y＝x

增

y＝x2

在[0，＋∞) 上____，在(－∞，0] 上____ y＝x3

1y＝x

2

y＝x1

－

在(0，＋∞) 上___，

在(－∞，0)上____ 知识点三

一般幂函数的图象特征

思考

类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质．

梳理

一般幂函数特征

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点________．

(2)α>0时，幂函数的图象通过________，并且在区间[0，＋∞)上是单调______函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象________；当0<α<1时，幂函数的图象____________．

(3)当________时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是单调减函数．

(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．

(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从____到____的顺序排列．

类型一

幂函数的概念

例1

已知y＝(m2＋2m－2)x

m22＋2n－3是幂函数，求m，n的值．

反思与感悟

幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为x1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝24都不是幂函数．

1跟踪训练1

在函数y＝2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数为________．

x类型二

幂函数的图象及应用

1例2

若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值4时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

引申探究

若对于例2中的f(x)，g(x)，定义h(x)＝

fx，fx≤gx，试画出h(x)的图象．

gx，fx>gx，

反思与感悟

注意本题中对f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的几何解释．这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法．

跟踪训练2

幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于________．

类型三

幂函数性质的综合应用

命题角度1

比较大小

22212233例3

设a＝()，b＝()，c＝()3，则a，b，c的大小关系是________．

335反思与感悟

此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．

跟踪训练3

比较下列各组数中两个数的大小．

20.310.3(1)5与3；

23－－1与－－1；

(2)3520.35(3)5与(0.3).

2

121．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，，则k＋α等于________．

222．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，2)，则f(4)的值等于________．

213．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为________．

2

4．下列是y＝x的图象的是________．(填序号) 23

5．以下结论正确的是________．

①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；

③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；

④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．

1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．

2．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸．

13．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根2据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．