3.4.1 函数与方程教学设计及说课稿

一元二次不等式的恒成立问题教学设计

编写：

李亚

【地位与作用】

一元二次不等式的恒成立问题是一元二次不等式的解法、一元二次函数的图像在知识上的延伸和发展，以“一元二次不等式”和“恒成立”为核心内容展开。同时，该内容反应了“三个二次”即一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程之间的内在联系和相互转化，它渗透着数形结合、函数与方程等数学思想方法，它不仅能考察学生的综合解体能力，还能培养学生的灵活性、创造性和观察能力、概括能力、探究能力。恒成立问题也是中学数学中常见问题，频频出现在各类考试中，它既是备考复习的一个重要内容，又是高考的一个难点问题，因此，设计本课，对此类问题进行归纳总结，寻求解决此类问题的良策。

【学生现状】

目前，学生已经掌握了“三个二次”的相关基础知识，而且他们通过高一和高二上学期的高中阶段学习，心智发育逐渐成熟，发散思维习惯和方式已经初步形成，也具备了一定的数形结合的思想，有着一定的观察、总结、划归和探究等能力。

【重点与难点】

1.恒成立问题的题型与解法；

2.利用函数与方程思想和数形结合方法求解恒成立问题。

【教学目标】

1.复习一元二次函数、方程、不等式“三个二次”之间的关系；复习一元二次函数在“指定区间”的最值。

2.探究一元二次函数恒成立问题的题型与解法。

3.体会函数与方程思想和数形结合方法的应用。

【教法与学法】

确定了课堂教学的重点和难点后，我以“学生为主体，教师为主导”为主要教学方法；以现代多媒体为辅助教学手段；以“以学生为本，以学定教”的教学理念进行教学设计。以企达到让学生在教师的启发、诱导和激励下，能完全体会知识的发生、发展以及运用的效果，从而实现本课教学目标。

【教学过程】

内容与环节

学生活教师活动动设计

设计

学生回忆

观察，回顾；口

教师引导

投影相应的幻灯片并配

【复习回顾】

1.一元二次函数、方程、不等式“三个二次”之间的关系；

2.一元二次函数在“指定区间”的最值情况

【自主先学】

复习知识点一: 三个二次的关系（a0） 2判别式b4ac

0

0

0

答填表

ax2bxc0的根

ax2bxc0的解集

2

axbxc0的解集

复习知识点二

2f(x)axbxc(a0)在区间m,n上的最值

bbmnmnbbm

mn

n

2a2a222a2a

观察图

像；数形结

合，填f(x)min=_________ f(x)min=________f(x)min=________f(x)min=______ 表

_ _

f(x)max=_________ f(x)max=________f(x)max=________f(x)max=______

_ _

【合作探究】

题型一 一元二次函数在R上的恒成立问题

2例1 函数f(x)xkx3k，当xR时，f(x)0恒成立，求实数k的取值范围。

学

生独立分析：抓住一元二次函数的图像，数形结合，把恒成立问题转化成函数最值问题或图像分布思考，问题；

给出解

题思路

yaxbxc的图象

2

xOxx

yxOy合学生口答填表

投影相应的幻灯片并配合学生口答填表

教师板书完整解题过程，并带领学生思考两种解法

【变式训练】

1、已知下列函数定义域为R，求实数k的取值范围

(1)y思考题意2、若不等式kx22kx10的解集为R，求实数k的取值范围。

如何转

化？思分析：（1）能识别不同类型的恒成立问题；

考参数（2）二次不等式的二次项系数含有参数时要讨论，讨论做到不重不漏。

如何讨

论？

题型二 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题

例2 已知函数f(x)x2kx4 ,当x1,2时，f(x)0恒成立，求实数k的取值范学围。

生独立

思考后讨论，分析：（1）要使x1,2时，f(x)0恒成立，则f(x)min0即可；

给出解 （2）分离参数k，构造新函数求新函数的最值。

答方法、思

路

【跟踪训练】

2已知函数f(x)xkx4

，当x2,2时，f(x)10恒成立，求k的取值范围.

结

合例分析：两种方法（1）图像法；（2）分离参数法；

2，比较总结两种方法的优特点。

两种解法的优

特点选

择适当

方法解

题

x2kx3k;(2)ylg(x2kx3k)

教师带领学生一起进行思路、方法的梳理、总结

师生共同对解题思路、解法进行梳理点评，总结

师生共同感悟总结的恒成立问题的解法，能掌握、运用、推广

【小结反思】

1、f(x)0（或f(x)0）在区间m,n上恒成立在区间m,n上再次巩固f(x)max0或f(x)min0

本课归纳的结2、分离参数，构造新函数

g(x)求最值kg(x)（或kg(x)）在区间m,n上恒成立

论

在区间m,n上kg(x)max或kg(x)min

投影

【板书设计】

课题

例1 教师规范板书 投影区域 投影区域 例2和变式训练

变式训练 学生板书 学生板书

【检测反馈】

用图像法和分离参数法两种方法解答下题

2关于x的不等式2x9xm0在区间[ 2, 3]上恒成立,则实数m的取值范围是

学生独立作答

教师进行评注、总结

_______。