3.4.2 函数模型及其应用课时教学实录

高一专题讲座（含绝对值的函数）

管春鸾

一、基本概念

a,(a0)ab,(ab)绝对值的代数意义: |a|;

|ab|

a,(a0)ba,(ab)绝对值的几何意义: |a|表示数轴上实数a所对应的点到坐标原点的距离；

|ab|表示数轴上实数a,b所对应的两个点之间的距离. 二、解决含绝对值的函数问题常用的方法是图像法

作函数yf(|xb|)的图像是先作出xb时函数yf(|xb|)部分的图像，然后保持xb部分的图像不动并将其以直线xb为对称轴翻折得到xb部分的图像；

作函数y|f(x)|的图像是先作出函数yf(x)的图像，然后保持x轴上方（即满足f(x)0的部分）的图像不动，再将x轴下方的图像（即满足f(x)0的部分）以x轴为对称轴翻折. 三、含绝对值的函数的主要性质

单调性、奇偶性、图形的对称性、最值性

1．奇偶性、图形的对称性（①定义域关于原点对称；②f(x)f(x)或f(x)f(x)）

例1.

判定下列函数的奇偶性

lg(1x2)3|x3|

（1）f(x)；

（2）f(x)

2|x2|24xlg(1x2)解：（1）1x01x1|x2|2(2x)2x,

f(x)

x

函数f(x)的定义域是(1,0)(0,1)，且f(x)f(x)

函数f(x)是奇函数

2

（2）奇函数

衔接：函数f(x)|xa||xa|是偶函数；函数f(x)|xa||xa|是奇函数.

（证明方法：定义法）

思考：平底型函数f(x)|xa1||xa2||xan|(a1a2an)的图形的对称性. anan结论:

n是奇数时，对称轴方程是xan1；

n是偶数时，对称轴方程是x22212. 例2.

已知函数f(x)|x2016||x2015||x1||x||x1||x2016|，

求满足条件f(a23a2)f(a1)的实数a的和. 解:

因为函数f(x)|xa||xa|是偶函数（用定义证明）

所以函数f(x)是偶函数，且在(0,)上单调递增，所以f(x)f(|x|)

由f(a23a2)f(a1)得|a23a2||a1|

1

a23a2a或a23a2(a1)

a24a30或a22a10，

a1或a3

满足条件f(a23a2)f(a1)的实数a的和为4. 注意:

本题不可用韦达定理解题

拓展：函数f(x)|x1||2x1||3x1||4x1|的最小值是

. 111110个零点的中间值是，

解法1: f(x)4|x|3|x|2|x||x1|共有10个绝对值求和，

4323

所以函数f(x)的对称轴是直线x114，所以f(x)minf()333

解法2: 写出分段函数的解析式，结合图像求对称轴.

思考：如何求函数f(x)|x1||2x1||3x1||2016x1|的最小值？

解题策略：

（1）若f(x)是偶函数，且在区间(0,)上单调，则f(x1)f(x2)f(|x1|)f(|x2|)|x1||x2|；

（2）若f(x)是偶函数，且在区间(0,)上单调递增，则f(x)f(x)2f|(x)|11|(f)|x|||x2x|12；

若f(x)是偶函数，且在区间(0,)上单调递减，则f(x1)f(x2)f(|x1|)f(|x2|)|x1||x2|. 练习: 1

（1）

若偶函数f(x)在区间(0,)上单调递增，则不等式f(2x1)f()的解集是

；

3

（2）若偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则{x|f(x2)0}

；

（3）已知f(x)|xa||xa||xb||xb|c，若存在正常数m使得f(m)0，则不等式

已知f(x)0的解集是

；

（4）已知函数f(x)x2cosx，对于区间[,]上的任意x1,x2，有如下条件：

22

①x1x2；

②x12x22；

③|x1|x2

其中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件的序号是

. 12答案:

（1）(,);

（2）(,0)(4,);

（3）(m,m);

（4）②. 33例3.（1）已知函数f(x)|lgx|，若f(a)f(b)(0ab)，则a2b的取值范围是

；

|x25x4|(x0)

（2）已知函数f(x)，若函数yf(x)a|x|恰有四个零点，则实数a的取2|x2|(x0)值范围是

；

1（3）当k(0,)时，方程|1x|kx的解的个数是

；

211（4）已知函数f(x)x(1a|x|)，设关于x的不等式f(xa)f(x)的解集为A，若[,]A，

22

则实数a的取值范围是

.

解：（1）由f(a)f(b)|lga||lgb|lgalgb或lgalgbab或ab1

又0ab,ab1b1a00a1

a2

a2ba,a(0,1)单调递减,

a2b的取值范围是(3,). a

注意:

本题不可用基本不等式解题

4|x5|(x0)x

（2）f(x)a|x|x0a

22|1|(x0)x4|x5|(x0)x

原题转化为直线ya与曲线y有四个公共点

22|1|(x0)x

所以，实数a的取值范围是(1,2).

（3）函数y|1x|的图像关于直线x1对称. x1时，yx1单调递增

1

直线ykx(0k)与曲线y1x(x1)有且只有一个交点；

2

直线ykx与曲线yx1(x1)有且只有一个公共点(相切)时，由方程x1kx的0

解得k11，所以0k时，直线ykx与曲线yx1有两个交点

22

所以方程|1x|kx的解的个数是3个. x(ax1)(x0)（4）f(x)是奇函数，图像关于原点对称

x(ax1)(x0)①a0时，f(x)x不满足f(xa)f(x)；

②a0时，作出函数f(x)的示意图，由图像知：函数f(x)在(,)上单调递增，

将函数yf(x)的图像向左平移a个单位得到函数yf(xa)的图像，则yf(xa)的

图像全在函数yf(x)的图像的上方，所以f(xa)f(x)恒成立，不合题意；

③a0时，作出函数f(x)的示意图，求曲线yf(x)与曲线yf(xa)的交点的横坐标x1,x2,

1111[,]A(x1,x2),

x1,x2

22221a2115a2a10,a0a0

由(xa)[a(xa)1]x(ax1)得x12a221a21

由(xa)[a(xa)1]x(ax1)得x2a2a10（恒成立）a0均符合

2a215,0).

所以实数a的取值范围是(2（4）变式训练：已知函数f(x)x(1a|x|)，设关于x的不等式f(xa)f(x)恒成立，则实数a的

取值范围是

.

答案：(,2][0,)

练习:（1）已知函数f(x)|x||x1|，若函数g(x)f(x)a的零点个数不为0，则实数a的最小值是

；

（2）若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则实数b的取值范围是

；

（3）若曲线f(x)||x1|1|与直线yk有且仅有四个不同的交点，则实数k的取值范围

是

；

（4）若曲线f(x)x2|x|a与直线y1有且仅有四个不同的交点，则实数a的取值范围

是

；

（5）

若关于x的方程x|xa|a有三个不等的实数根，则实数a的取值范围是

；

（6）

若关于x的方程|x|则实数k的取值范围是

；

kx2有四个不等的实数根，x2

（7）

若关于x的不等式2x2|xa|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是

；

（8）若关于x的方程|x2a|x30(a0)有两不等实根，则实数a的取值范围是

. 5答案：（1）1；

（2）[1,1]；

（3）(0,1)；

（4）(1,)；

4

（5）(,4)(4,)

提示：①a0时，方程为f(x)x|x|0仅有一解，不合题意；

a②a0时，作出函数f(x)的示意图，由图像知：ya(0,f())时三解，

2a2

0aa4

4

③a0时，类比②，得a4

（6）(1,)

提示：此方程有一个解是x0，

则问题转化为方程x(x2)(x0)11|x|(x2)有三解(0,1)k1. kkx(x2)(x0)9

（7）(,2)；

（8）(9,). 4解题策略：解含绝对值的方程或不等式主要辅助工具是函数图像，首选方法是分离参变量. 例4.

含绝对值的复合函数

|lg|x1||(x1)（1）已知函数f(x)，若关于x的方程f2(x)2(a1)f(x)4a0有8个不同的0(x1)实数解，则实数a的取值范围是

，所有实数根的和是

；（7个解呢？）

（2）已知函数f(x)|x|3,若关于x的方程f2(x)4|f(x)|k0恰有8个不同的实数解，则实数k

的取值范围是

.

答案：（1）(0,1)(1,)，

8；

a0，7

（2）(3,4)

提示：令t|f(x)|，作出函数t|f(x)|的图像，

则问题化归为方程t24tk0在区间(0,3)上有两个不相等的实根. 2．单调性、最值性

例5.

已知函数f(x)(xt)|x|(tR)．

（1）求函数yf(x)的单调区间；

（2）当t0时，若f(x)在区间[1,2]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，求M(t)m(t)的

最小值．

2xtx,x0解：（1）f(x)， 2xtx,x0 当t0时，f(x)的单调增区间为[,),(,0)，单调减区间为[0,]

当t0时，f(x)的单调增区间为(,) 当t0时，f(x)的单调增区间为[0,)，(,]，单调减区间为[,0) （2）由（1）知：t0时f(x)在(,0)上递增，在(0,)上递减，在(,)上递增

从而，

当t2t2t2t2t2t2t2即t4时，M(t)f(0)0， 2m(t)min{f(1),f(2)}min{1t,42t} 所以，当4t5时，m(t)1t，故M(t)m(t)1t5

当t5时，m(t)42t，故M(t)m(t)2t46

当t2t即2t4时，M(t)f(0)0

2tt2 m(t)min{f(1),f()}min{1t,}1t

24 所以，M(t)m(t)t13 当0t2时，M(t)f(2)42t

tt2 m(t)min{f(1),f()}min{1t,}1t

24

所以，M(t)m(t)5t3

综上所述，当t2时，M(t)m(t)取得最小值为3．

例6. 已知函数f(x)2|xm|,g(x)x|xm|2m8，若对于任意x1(,4]，都存在x2[4,)，使得f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围.

解: 设函数f(x)2|xm|(x(,4])的值域为A,函数g(x)x|xm|2m8(x[4,))的值域

为B,则AB

f(x)2|xm|xm2(xm)mx2(xm)[1,),m4

,Am4[2,),m4

x2mx2m8x(m)g(x)2

xmx2m8(xm)

①m0时，g(x)在[4,)上递增，所以B[82m,)；

mm

②m0时，g(x)在(,],[m,)上递增，在[,m]上递减，且g(m)g(0)2m8

22

所以，0m4时，g(x)在[4,)上递增，所以B[82m,)

m4时，B[2m8,)

[82m,),m4综上所述，B

[2m8,),m4又m4AB，m44m5或m6

[2,)[2m8,)m47m4

或2[1,)[82m,)7所以，实数m的取值范围是[,5][6,)

23．拓展：常见复合函数绝对值不等式

（1）|f(x)|a(a0)af(x)a； |f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a

（2）①若对于任意的x1A,任意的x2B，都有f(x1)g(x2)，则f(x)maxg(x)min；

若对于任意的x1A,任意的x2B，都有f(x1)g(x2)，则f(x)ming(x)max；

②若对于任意的x1A,都存在x2B，使得f(x1)g(x2)，则f(x)maxg(x)max；

若对于任意的x1A,都存在x2B，使得f(x1)g(x2)，则f(x)ming(x)min；

③若存在x1A,x2B，使得f(x1)g(x2)，则f(x)ming(x)max；

若存在x1A,x2B，使得f(x1)g(x2)，则f(x)maxg(x)min. （3）①若对于任意的x1A,x2B，都有|f(x1)g(x2)|a(a0)，

g(x)maxf(x)minag(x)f(x1)a即af(x1)g(x2)a恒成立，亦即2恒成立，则

f(x)g(x)af(x)g(x)a12maxming(x)maxf(x)mina

结论：若对于任意的x1A,x2B，都有|f(x1)g(x2)|a(a0)，则

f(x)g(x)amaxmin

同理：

②

若对于任意的x1A,x2B，都有|f(x1)g(x2)|a(a0)，

则g(x)minf(x)maxa

或f(x)ming(x)maxa

③

若对于任意的x1,x2A，都有|f(x1)f(x2)|a，则f(x)maxf(x)mina

g(x)minf(x)maxa

（4）①

若存在x1A,x2B，使得|f(x1)g(x2)|a(a0)，则

f(x)g(x)aminmax②

若存在x1A,x2B，使得|f(x1)g(x2)|a(a0)

则g(x)maxf(x)mina

或f(x)maxg(x)mina

③

若存在x1,x2A，使得|f(x1)f(x2)|a，则f(x)maxf(x)mina

g(x)minf(x)mina

（5）①

若对于任意的x1A,都存在x2B，使得|f(x1)g(x2)|a(a0)，则

f(x)g(x)amaxmax ②

若对于任意的x1A,都存在x2B，使得|f(x1)g(x2)|a(a0)，则

则g(x)minf(x)maxa

或f(x)ming(x)maxa

③

若对于任意的x1A,都存在x2A，使得|f(x1)f(x2)|a(a0)，则f(x)maxf(x)mina