2.2.2 函数的奇偶性教学实录与评析

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

如果对于任意的x∈A，都有偶函数

一般地，设函数y＝f(x)的奇函数

定义域为A

____________，那么称函数y＝f(x)是偶函数

如果对于任意的x∈A，都有____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有___________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中__________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【知识拓展】

1.函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 2.函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). 关于_____对称

关于____对称

图象特点

(2)若f(x＋a)＝1，则T＝2a(a>0). fx1(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). fx【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(

) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.(

) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(

) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(

) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(

)

1.(教材改编)对于定义域是R的任意奇函数f(x)，下列结论正确的有________.(填序号) ①f(x)－f(－x)＞0；

③f(x)·f(－x)≤0;

②f(x)－f(－x)≤0；

④f(x)·f(－x)＞0. 2.(教材改编)函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝________. 3.(教材改编)若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________. 4.(教材改编)设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图所示，则它在[－1,0]上的解析式为________.

5－5.(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

题型一

判断函数的奇偶性

例1

(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是________. ①y＝1＋x2；

1③y＝2x＋x；

21②y＝x＋；

x④y＝x＋ex.

2x＋x，x<0，

(2)判断函数f(x)＝2的奇偶性. －x＋x，x>0

(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是________. 1①y＝；

x③y＝(x－1)2；

②y＝lg|x|；

④y＝2x. (2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝________. 题型二

函数的周期性

例2

(1)(2016·淮安模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)＝________. (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－＝______. 引申探究

例2(2)中，若将f(x＋2)＝－1改为f(x＋2)＝－f(x)，其他条件不变，则f(105.5)的值为________. fx1，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)fx

定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________. 题型三

函数性质的综合应用

命题点1

解不等式问题

1例3

(1)(2016·南通模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)

求参数问题

2例4

(1)函数f(x)＝lg(a＋)为奇函数，则实数a＝________. 1＋xax＋1，－1≤x<0，(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝bx＋2，0≤x≤1，x＋113，则a＋3b的值为________. 其中a，b∈R.若f

＝f22

(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.

(2)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝________.

2.抽象函数问题

考点分析

抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域

fx2－1典例1

已知函数y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________. 2－log2x＋1二、抽象函数的函数值

1典例2

若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝，对任意x∈R恒成立，fx则f(2 019)＝________. 三、抽象函数的单调性与不等式

典例3

设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y).若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围.

1.(教材改编)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝____________. 2.(2016·苏州模拟)设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的有________.(填序号) ①f(x)f(－x)是奇函数；

②f(x)|f(－x)|是奇函数；

③f(x)－f(－x)是奇函数；

④f(x)＋f(－x)是偶函数. 3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝________. 2x－k·2x4.(2016·南京模拟)若函数f(x)＝x则k的值为________. －(k为常数)在定义域内为奇函数，2＋k·2x－πcos 6x0＜x≤8，5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝则f(f(－16))＝log2xx>8，________. 6.(2016·盐城模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是

________. log2x，x>0，17.(2017·苏北四市联考)已知函数f(x)＝若f(x)为奇函数，则g(－)＝________. 4gx，x<0，

8.(2016·常州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________. 9.函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 10.(2016·南京模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.1如果实数t满足f(ln t)＋f(ln )≤2f(1)，那么t的取值范围是________. t11.(2016·江苏苏北四市二调)定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)＋(a－1)x＋b(a，b为常数)，若f(2)＝－1，则f(－6)的值为________. 12.(2016·江苏扬州中学开学考试)已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，如果∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是____________. 13.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.