3.1.2 指数函数教学实录与评析

“指数函数的图像及其性质”一课的教学设计 扬州市新华中学 张衡

一、教学内容分析

本节课是高中《数学必修1》第3.1.2“指数函数”的第一课时——指数函数的定义、图像及性质.它是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质。

从整个章节看，指数函数是高中学段给出的第一个初等函数，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，另一方面也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础.因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用. 此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、经济增长、银行贷款和考古中的年代测算等方面，因此指数函数作为一种重要的数学模型，学好这部分知识有利于为数学建模、数学应用打好基础，很有实际意义. 二、学情分析 通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图像的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个方面：

知识方面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数. 技能方面：学生对采用“描点法”描绘函数图像的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备. 素养方面：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想. 本节对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，学生的分析能力和概括能力不是很强，所以学生学习起来有一定难度. 三、教学目标

1．理解指数函数的概念和性质，能应用所学知识解决简单的数学问题；

2．通过观察图像，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质，感受数形结合、分类讨论的数学思想方法，培养学生抽象概括能力；

3．在指数函数的学习过程中,

通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

四、教学重点、难点

教学重点：指数函数的概念、图像和性质.指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一.作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础；同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究. 教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数的性质.指数函数是学生完全陌生的一类函数, 对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题. 五、教学过程分析

（一）问题引入

问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂

x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗？

学生回答:

y与

x之间的关系式,可以表示为y2x.

【此处,设问人体细胞总数,教师先了解到有40~60万亿，问学生猜想由一颗受精卵要分裂多少次才能达到这么大的数，教师事先用计算机算得2的50次方超过1千万亿，让学生感受到指数函数增长速度之快】

问题2：

一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示. 学生回答:

y与

x之间的关系式,可以表示为y0.84x. 引导学生观察，两个函数两个解析式有什么共同特征，底数是常数，指数是自变量.类比正比例函数解析式，写出这类函数解析式的一般形式. 【设计意图：引导学生观察自变量在指数位置，让学生给函数起名，突出底数a的取值范围。让学生通过观察，思考概括出他们的共同特征，从而引出指数函数的定义.

】

（二）主动建构

1．指数函数的定义

一般地，函数yax其中x是自变量，函数的定义域是R. a0,a1叫做指数函数，问题：指数函数定义中，为什么规定“a0,a1”如果不这样规定会出现什么情况？

【设计意图：教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢？这是本节的一个难点，为突破难点，采取学生自由讨论的形式，达到互相启发，补充，活跃气氛，激发兴趣的目的. 】

对于底数的分类，可将问题分解为：

(1)若a0会有什么问题？（如a2,x1则在实数范围内相应的函数值不存在）

2x(2)若a0会有什么问题？（对于x0,a都无意义）

x(3)若

a1又会怎么样？（1无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）

师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a0,a1. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话.

【设计意图：认识清楚底数a的特殊规定，才能深刻理解指数函数的定义域是R；并为学习对数函数，认识指数与对数函数关系打基础.

】

教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向深入. 请指出下列函数哪些是指数函数：

(1)y3x； (2)yx3； (3)y3x； (4) y3；

21x1(5) y； (6) y3x1； (7)y2a1a,且a1. 2xx由此总结出指数函数的形式特征:（1）a的系数为1，（2）自变量x在指数位置，（3）底数是大于0且不等于1的常数. x【设计意图：通过这些函数的判断，进一步深化学生对指数函数概念的理解，指数函数的概念与一次、二次函数的概念一样都是形式定义，也就是说必须在形式上一模一样方行，即在指数函数的表达式中ya2．指数函数的图像及性质

xa0,a1.】

xx11请在同一个平面直角坐标系中作出y2,y,y3x,y的图像，

23x并由此观察、归纳、概括指数函数的性质.

【设计意图：在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图像与性质，是本节的重点.关键在于弄清底数a对于函数值变化的影响.对于0a1或a1时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点.为此，必须利用图像，数形结合.教师亲自板演，学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图像，目的是使学生更加信服，加深印象，并为以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础. 这是本节课的重点和难点，要充分调动学生的积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用，因此要给一定时间让学生独立完成作图，教师巡视指导，并让学生间充分交流合作.】

师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书.

y=a（0＜a＜1）

xy=a（a＞1）

x图像

定义域

值域

R （0，+∞）

（1）过定点（0,1），即x=0时，y=1 性质

（2）在R上是减函数

(2)在R上是增函数

特别地，学生有可能还会总结出其他的性质

【设计意图：再次强调指数函数的单调性与底数a的关系，并具体分析了函数值的分布情况，深刻理解指数函数值域情况.

】

（三）典型例题

例1、已知fx是指数函数，且f2（1）求函数fx的解析；

9

4（2）指出函数fx的单调性，并比较f与f的大小. 4554【设计意图：第1问是让学生运用待定系数法使用指数函数的形式，通过舍去负值考察学生是否关注到底数的范围限制，第二问让学生能自觉的运用指数函数的单调性，为例2建立一些铺垫

】

例2、

比较下列各组数中两值的大小：

11（1）1.52.5,1.53.2 （2）0.51.2,0.51.5 （3）,

42872.51.80.31.2, （5） （6）

1.5,0.8a,aa0,a178375120.81.8（4）教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法. （1）（2）两题底相同，指数不同；

（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小.

（5）题底是字母，需要分类讨论比较大小；

（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小.

【设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆，初步培养学生用函数观点解决问题的意识,体会分类讨论的数学思想.

】

例3、（1）已知33，求实数x的取值范围；

x0.5

（2）已知0.225，求实数x的取值范围；

x【设计意图：这是指数函数单调性的另一种形式的运用，同样是培养学生运用函数的思想解决不等式问题，为学生能运用指数函数的单调性解决其他问题，如解方程等打开思路.

】

（四）回顾小结：

1、指数函数的概念、图像和性质；

2、运用指数函数的性质判断大小和解不等式. 【设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础.

】

（五）布置作业

教材P67练习1、2、3、4、5、6

作业纸

板书设计：

指数函数及其性质

一、定义

二、图像与性质

三、应用

1．图像

例1 解析式特征：

2. 性质

①底数

a0,a1

例2

②ax系数是1

例3

③指数位置只能是自变量

教学反思：

这节课我选择了问题导向，主动建构的教学思路，充分体现教师与学生、学生与学生的交流互动，在教师的整体调控下，以问题为驱动，学生通过操作、观察、思考、讨论，层层递进，让学生亲身经历了知识的形成与发展过程.体现了“以教师为主导，学生为主体”的教学理念. 本节课之前没有做任何的演练，学生甚至没有预习（本人设想在没有预习的情况下开展），没有修饰，最大程度还原了高中起始阶段一堂常态课的教学情况，通过本节课可以看到学生间的合作还有些拘谨，上台展示的学生有些羞涩，作图速度较慢，语言的表述不够流畅等实际情况，但是本节的课的目的还是充分调动学生，给时间和空间让学生交流展示，逐渐培养他们好的自主探究、合作学习的习惯，从这节课看以后还要多做些努力。