3.2.2 对数函数教学设计案例

3.2.2

对数函数(一) 明目标、知重点

1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．

1．对数函数的定义

一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

2．对数函数的图象与性质

定义

底数

a>1

y＝logax (a>0，且a≠1)

0

定义域

值域

单调性

共点性

函数值特点

对称性

在(0，＋∞)上是增函数

(0，＋∞)

R

在(0，＋∞)上是减函数

图象过点(1,0)，即loga1＝0 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)

＋∞)时，y∈(－∞，0] 函数y＝logax与ylog1x的图象关于x轴对称

a

[情境导学] 探究点一

对数函数的概念

思考1

在情境导学中，y与x的关系式为y＝2x，那么，如何用y来表示出x?

思考2

在思考1得出的关系式中，x是y的函数吗？为什么？

思考3

我们把函数x＝logay(a>0，a≠1)叫做对数函数，但习惯上自变量用x表示，所以这个函数就写成y＝logax.这样一来，你能给对数函数下一个定义吗？

例1

求下列函数的定义域．

(1)y＝log0.2(4－x)；(2)y＝logax－1(a>0，a≠1)．

反思与感悟

此题主要利用对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)求解．

跟踪训练1

求下列函数的定义域：

11(1)y＝log3(1－x)；(2)y＝；(3)y＝log7；

log2x1－3x(4)y＝log3x. 探究点二

对数函数的图象及性质

思考1

写出在同一坐标系内作出函数y＝log2x及ylog1x的图象的过程，观察图象，并2指出这两个函数有哪些相同性质和不同性质？

思考2

从描出的点及作出的图象中能看出函数y＝log2x及ylog1x的图象的对称关系2吗？

思考3

由具体的函数y＝log2x及ylog1x的性质，你能抽象出对数函数y＝logax(a>0，2a≠1，x>0)的哪些性质？

例2

比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；

(3)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)．

反思与感悟

比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数判断对数函数的增减性，然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．

跟踪训练2

比较下列各题中两个数的大小：

(1)log25.3与log24.7；(2)log0.27与log0.29；

(3)log3π与logπ3；(4)loga3.1与loga5.2(a>0，a≠1)．

例3

画出函数y＝log2|x|的图象，指出图象的特征，并根据图象写出函数的单调区间．

反思与感悟

y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．由对称变换可利用y＝f(x)的图象得到y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象．

跟踪训练3

在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与y＝log2(－x)的图象，并说明二者之间的关系．

1．给出下列函数：

①ylog2x2；②y＝log3(x－1)；③y＝logx＋1x；④y＝logπx. 3其中是对数函数的有________个．

2．下列不等号连接错误的一组是________．

①log0.52.2>log0.52.3；

②log34>log65；

③log34>log56；

④logπe>logeπ.

3．函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．

4．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

5．求下列函数的定义域：

(1)

；

(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．

[呈重点、现规律] 1．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响．无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增．

2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．

3．两个函数图象的对称性

(1) 特例

推广

(2) 特例

推广

函数y＝logax与函数ylog1x的图象关于x轴对称

a1函数y＝ax与函数y＝()x的图象关于y轴对称

a函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称

函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称