2.1.1 函数的概念和图象公开课教案（教学设计）

2．1

函数的概念

2．1.1

函数的概念和图象

第1课时

函数的概念和定义域

学习目标

1.理解函数的概念(难点)；2.了解构成函数的要素(重点)；3.会求一些简单函数的定义域和函数值(重点)．

预习教材P23－25的例2，完成下面问题：

知识点一

函数的概念

设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A. 其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．

【预习评价】

试用函数的定义判断下列对应是不是函数？

(1)f：求周长，A＝{三角形}，B＝R；

(2)

x y ；(3)

x y ；

(4)

x y ；(5)

1

1

1

2

1 3 1

1

2

1

3 1 1

3

2

2

3 1

x y . 1

1

2

2 3

提示

(1)不是，因为集合A不是数集．

(2)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．

(3)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．

(4)不是．一个x＝1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”．

(5)不是．x＝3没有相应的y与之对应．

检验两个变量之间是否具有函数关系的方法：

①定义域和对应法则是否给出；

②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.只有当(1)(2)同时满足时，y才是x的函数．

知识点二

函数的三要素

函数的三个要素：定义域，对应法则，值域．

(1)定义域

定义域是自变量x的取值集合．有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合．

(2)对应法则

对应法则f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)且x∈A}中唯一确定的y与之对应．

(3)值域

函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应法则确定了，那么它的值域也会随之确定．

【预习评价】

1．下列图形可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{x|0≤x≤1}为值域的函数是________(填序号)．

解析

根据函数定义任意实数x对应唯一实数y，所以(3)正确．

答案

(3) x－42．函数y＝的定义域为________．

|x|－5x－4≥0，解析

依题意有故定义域为{x|4≤x＜5，或x＞5}．

5，x≠±答案

{x|4≤x＜5，或x＞5} 知识点三

函数相等

如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等．

【预习评价】

下列各组函数中，表示同一函数的是________(填序号)．

x(1)y＝1，y＝x

(2)y＝x－1·x＋1，y＝x2－1 3(3)y＝x，y＝x3

(4)y＝|x|，y＝(x)2

解析

四个表达式中对应法则和定义域均相同的只有(3)，故填(3)．

答案

(3)

题型一

函数概念

【例1】

判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数．

(1)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；

(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；

(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；

(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. 解

(1)当取值为0时A中在B中没有对应值，故不是集合A到集合B的函数．

(2)对于集合A中的任意一个整数x，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．

(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的值，故不是集合A到集合B的函数．

(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．

规律方法

(1)判断一个对应法则是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中有唯一确定的实数和它对应．

注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．

(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．

【训练1】

下列对应或关系式中是A到B的函数的有________．

①A∈R，B∈R，x2＋y2＝1；

②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：

③A＝R，B＝R，f：x→y＝1；

x－2④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1. 解析

对于①，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不唯一，故不符合；对于②，符合函数的定义；对于③，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合；对于④，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．

答案

②

题型二

求函数的定义域

【例2】

求下列函数的定义域：

x＋12x＋1(1)y＝－1－x；(2)y＝. x＋1|x|－x解

(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足

x＋1≠0，x≠－1，即

1－x≥0，x≤1.所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．

(2)要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，

∴x＜0. ∴函数的定义域为{x|x＜0}．

规律方法

(1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：①负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；②分式中分母不能为0；③零次幂的底数不为0；④如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；⑤如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．

(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．

【训练2】

求下列函数的定义域：

x＋10(1)y＝；

x＋2(2)y＝2x＋3－11＋x. 2－x解

(1)由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，x>－2，所以x>－2且x≠－1. x＋10所以函数y＝的定义域为{x|x>－2，且x≠－1}．

x＋22x＋3≥0，(2)要使函数有意义，需2－x>0，x≠0，3解得－2≤x<2，且x≠0，

311所以函数y＝2x＋3－＋x的定义域为x－2≤x<2，且x≠0. 2－x

互动

探究

【探究1】

已知f(x)＝(1)求f(2)，g(2)的值；

(2)求f(g(3))的值．

题型三

求函数值

1(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．

1＋x

解

(1)∵f(x)＝111，∴f(2)＝＝3. 1＋x1＋2又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)∵g(3)＝32＋2＝11，

∴f(g(3))＝f(11)＝11＝12. 1＋111(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)．

2－x【探究2】

已知f(x)＝(1)求f(1)，g(1)的值；

(2)求f(g(1))，g(f(1))的值；

(3)求f(g(x))，g(f(x))的表达式．

解

(1)f(1)＝1＝1，g(1)＝1＋4＝5. 2－111＝－3，

2－5(2)f(g(1))＝f(5)＝g(f(1))＝g(1)＝1＋4＝5. (3)f(g(x))＝f(x＋4)＝g(f(x))＝g(11＝，

2－x＋4－2－x11)＝＋4. 2－x2－xx2【探究3】

已知函数f(x)＝. 1＋x211(1)求f(2)与f(2)，f(3)与f(3)；

1(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f(x)有什么关系？并证明你的发现；

111(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)的值．

x2224解

(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝，

1＋x21＋22512211329f(2)＝＝，f(3)＝＝，

1251＋32101＋2

13211f(3)＝＝1210. 1＋31(2)由(1)可发现f(x)＋f(x)＝1，证明如下：

1x21xx21f(x)＋f(x)＝＋＝＋121＋x21＋x2＝1. 1＋x21＋x21(3)由(2)知：f(2)＋f(2)＝1，

11f(3)＋f(3)＝1，…，f(2 016)＋f(2 016)＝1，

1∴原式＝2＋14 031＝2 015＋2＝2. 规律方法

(1)函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．函数的定义域和对应法则一经确定，值域随之确定．

(2)f(x)是函数符号，f表示对应法则，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，对应法则可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示．

(3)求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f(g(x))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f(g(x))与g(f(x))的区别．

课堂达标

1．有对应法则f：

x(1)A＝{0,2}，B＝{0,1}，x→2；

(2)A＝{－2,0,2}，B＝{4}，x→x2；

1(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，x→x2；

(4)A＝R，B＝R，x→2x＋1；

(5)A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.

其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．

解析

(2)(3)中，当x＝0时，B中不存在数值与之对应；(5)中，集合A不是数集．

答案

(1)(4) 2．已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，对任意x∈A，x→ax＋b是从集合A到集合B的函数，若输出值1和8对应的输入值分别为3和10，则输入值5对应的输出值为________．

3a＋b＝1，a＝1，解析

由题意得解得

10a＋b＝8，b＝－2，所以对应法则f：x→x－2，故输入值5对应的输出值为3. 答案

3 4－x3．函数f(x)＝的定义域为________．

x＋14－x≥0，4－x解析

要使函数f(x)＝有意义，需满足解得x≤4且x≠－1，x＋1x＋1≠0，4－x所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≤4，且x≠－1}．

x＋1答案

{x|x≤4，且x≠－1} 4．函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，则f(5)＝________. 解析

f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f(2)＝f(1)＋1＝3，

f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6. 答案

6 5．已知函数f(x)＝x＋1. x＋2

(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．

解

(1)∵f(x)＝x＋12＋13，∴f(2)＝＝. x＋22＋242＋11＋12523(2)f(1)＝＝3，f(f(1))＝f3＝2＝8. 1＋23＋2课堂小结

(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应法则．函数的定义域和对应法则共同

确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．

(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应法则不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应法则不同，所以是两个不同的函数.