2.2.1 函数的单调性多媒体教案及点评

函数的单调性与最值

一、1．单调增函数的定义：

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA．如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有 ，那么就说yf(x)在区间I上是单调 函数，I称为yf(x)的单调

区间．

2．单调减函数的定义：

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA．如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有

，那么就说yf(x)在区间I上是单调

函数，I称为yf(x)的单调

区间．

3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是

图像；而函数在其单调减区间上的图像是

的图像。（填＂上升＂或＂下降＂）

4．函数单调性证明的步骤：

（1） ；

（2） ；

(3) . 二、1．函数最值的定义：

一般地，设函数yf(x)的定义域为A．

若存在定值x0A，使得对于任意xA，有 恒成立，则称

为yf(x)的最

值，记为 若存在定值x0A，使得对于任意xA，有 恒成立，则称

为yf(x)的最 值，记为

；

2．单调性与最值：

设函数yf(x)的定义域为a,b，

若yf(x)是增函数，则ymax ，ymin ；

若yf(x)是减函数，则ymax ，ymin ．

三、1、分段函数的定义

在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做

2、分段函数定义域，值域；

分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的

集(填“并”或“交”) 3、分段函数图象

画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；

【典例】

例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． x21, x01（1）yx2； （2）y；（3）f(x)．

x2x2,

x02

3例2：（1）求证：函数f(x)= －x+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数

(2)求证：函数f(x)1x2x在R上是单调减函数．

例３：(1)若函数f(x)4x2mx5m在[2,)上是增函数，在(,2]上是减函数，则实数m的值为 ；

（2）若函数f(x)4x2mx5m在[2,)上是增函数，则实数m的取值范围为 ；

（3）若函数f(x)4x2mx5m的单调递增区间为[2,)，则实数m的值为 ．

例4:

已知函数yf(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(xd)f(x)，求满足f(1a)f(2a1)的a的取值范围．

例5：求下列函数的最小值：

2（1）yx2x； （2）f(x)21，x1,3．

x（3）f(x)x2ax，x[0,4)的最小值．

例6、已知函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a). (1)求g(a)的函数表达式

(2)求g(a)的最大值。

例7、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。

例8、已知函数y=|x－1|+|x+2| (1)作出函数的图象。

(2)写出函数的定义域和值域。

训练

1 函数yx22x8的单调增区间为

．. 1在区间(0,1)上是减函数．

x2 求证：f(x)x

3、

函数f(x)是定义域上单调递减函数，且过点(3,2)和(1,2)，则|f(x)|2的自变量x的取值范围是

4. 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系是

．

5 函数y=|x+1|的单调递减区间为___________

单调递减区间

_____________________ 6、如图为函数yf(x)，x4,7的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．

34

7、函数f(x)x2mx4(m0)在(,0]上的最小值

8、

函数f(x)x2x2的最小值是

，最大值是

．

9．函数f(x)1的最大值是

1x(1x)

10、. y=x2+x21的最小值为

11、函数f(x)ax22ax1(a0)在区间[3,2]上的最大值为4，则a______．

x22,(x2)12、设函数f(x)=则f(－4)=___________,若f(x0)=8，则x0=________ 2x,(x2)13、出下列函数图象

y=┃x+2┃－┃x－5┃

)是减函数，则实数a的取值范围14、若函数f(x)x2(a1)x2在区间(,4上是 ．

15、若f(x)在R上是增函数，且ab0，则f(a)f(b) f(a)f(b)．

（注：从、、中选择一个填在横线上）

216、函数f(x)4xmx1在(,3]上递减，在[2,)上递增，则实数m的取值范2围

.